szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 mar 2016, o 20:36 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
Mam okrąg o równaniu (x+1)^{2}+(y-5)^{2}=25. Czy mogę szybko wyznaczyć, dla jakiej wartośći parametru a  \in R prosta x - a y +4 = 0 nie ma punktów wspólnych z tym okręgiem?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 mar 2016, o 20:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2160
Lokalizacja: Warszawa
Znajdź środek okręgu. Kiedy ta prosta nie będzie miała punktów wspólnych z okręgiem?
Pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 mar 2016, o 21:05 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
wujomaro napisał(a):
Znajdź środek okręgu. Kiedy ta prosta nie będzie miała punktów wspólnych z okręgiem?
Pozdrawiam!

Nad tym mniej więcej się zastanawiałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 mar 2016, o 21:12 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 5074
Lokalizacja: Poznań
Kiedy ta prosta będzie oddalona od środka okręgu o więcej niż...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 mar 2016, o 21:33 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
Otrzymałem nierówność 10a^{2} +2 - 15 a < 0, a znak wartości bezwzględnej zdjąłem, uwzględniając, że a<0, bo tak wynika z warunków zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2016, o 00:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6253
Inaczej:
Punktem wspólnym pęku prostych jest A=(-4,0). Środek okręgu punkt styczności oraz A tworzą przystające trójkąty prostokątne o kacie \alpha przy punkcie A.
a _{st}=\tan( \pi -2 \alpha ) =-\frac{2\tan  \alpha }{\tan^2 \alpha  -1 }= -\frac{ 2 \cdot \frac{5}{3} }{(\frac{5}{3})^2-1}=- \frac{15}{8}

Odp: - \frac{15}{8}< \frac{1}{a} <0  \Rightarrow a \in ......
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2016, o 03:45 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
kerajs napisał(a):
Inaczej:
Punktem wspólnym pęku prostych jest A=(-4,0). Środek okręgu punkt styczności oraz A tworzą przystające trójkąty prostokątne o kacie \alpha przy punkcie A.
a _{st}=\tan( \pi -2 \alpha ) =-\frac{2\tan  \alpha }{\tan^2 \alpha  -1 }= -\frac{ 2 \cdot \frac{5}{3} }{(\frac{5}{3})^2-1}=- \frac{15}{8}

Odp: - \frac{15}{8}< \frac{1}{a} <0  \Rightarrow a \in ......

Według mojego rozwiązania a  \in  \left( \frac{ 15 -  \sqrt{145} } {20} , \frac{15+  \sqrt{145} }{20}\right).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2016, o 09:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6253
A weryfikowałeś swoje rozwiązanie z rysunkiem?

Inaczej
\begin{cases} (x+1)^{2}+(y-5)^{2}=25\\ x - a y +4 = 0 \end{cases}
(ay-4+1)^{2}+(y-5)^{2}=25
(1+a^2)y^2+y(-6a-10)+9=0
Prosta nie jest styczną ani sieczną gdy równanie nie ma rozwiązania. Stąd:
\Delta<0\\
4\left[ (-5-3a)^2-(1+a^2)9\right]<0 \\
30a<-16\\
a< \frac{-8}{15}

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2016, o 08:51 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
kerajs napisał(a):
Inaczej:
Punktem wspólnym pęku prostych jest A=(-4,0). Środek okręgu punkt styczności oraz A tworzą przystające trójkąty prostokątne o kacie \alpha przy punkcie A.
a _{st}=\tan( \pi -2 \alpha ) =-\frac{2\tan  \alpha }{\tan^2 \alpha  -1 }= -\frac{ 2 \cdot \frac{5}{3} }{(\frac{5}{3})^2-1}=- \frac{15}{8}

Odp: - \frac{15}{8}< \frac{1}{a} <0  \Rightarrow a \in ......

Zastanawia mnie, dlaczego akurat \tg ( \pi  - 2 \alpha )?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2016, o 12:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6253
W życiu byś nie zgadł.
To pozostałość po rozwiązaniu geometrycznym z którego zrezygnowałem na rzecz pokazanego i nieco krótszego. Było tam m.in. :
\tan (  \pi -2 \alpha )= \frac{ \frac{90}{34} }{ \frac{48}{34} }= \frac{15}{8}
Przerabiając to rozwiązanie przeoczyłem nadmiarowe ,,\pi -''. Reszta jest poprawna.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Wzory: na dwusieczna w trójkącie oraz na prostą prostopa  Anonymous  1
 Wzór na prostą pokrywającą się z wektorem  Anonymous  3
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 Okrąg prostopadły do wektora  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl