szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2016, o 20:14 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Rzeszów
Udowodnić, że jeżeli liczba całkowita jest podzielna przez 3 i jest ona sumą pięciu kwadratów liczb całkowitych, to co najmniej dwa z tych kwadratów są podzielne przez 9.

Ma ktoś pomysł jak to zapisać?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 kwi 2016, o 20:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10571
Lokalizacja: Wrocław
Możliwe reszty z dzielenia kwadratów liczb całkowitych przez 3 to 0,1 (pierwszy przypadek ma miejsce dla kwadratów liczb podzielnych przez trzy, drugi dla kwadratów niepodzielnych).

Ponadto gdy 3 dzieli liczbę k^{2}, gdzie k jest całkowita, to także 3 dzieli k (nie wiem, czy znany jest Ci ten fakt, jak nie, to lepiej udowodnić).

Zatem jeśli 3|x oraz x=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^2
dla pewnych a_{1},...a_{5} całkowitych, to
3 | a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^2, a więc liczba
tych spośród a_{1},..a_{5}, które nie dzielą się przez 3, musi być wielokrotnością 3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2016, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Rzeszów
Dzięki za pomoc (znowu :D). Co do tego dowodu, to może być coś takiego?
Dla k i m całkowitego

k^{2}=3m

k= \sqrt{3m}

więc

m=3 n^{2}

k=3n

Nie wiem czy to nie jest zbyt naciągane.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2016, o 22:32 
Administrator

Posty: 21181
Lokalizacja: Wrocław
Naciągane - to nie jest dowód, tylko stwierdzenie "jest tak, bo chcę, żeby tak było". Dlaczego wg Ciebie m=3n^2?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2016, o 22:54 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Rzeszów
Generalnie tok myślenia był taki, że skoro k jest całkowite i k= \sqrt{3} \cdot \sqrt{m} to \sqrt{m}= \sqrt{3} \cdot \sqrt{ n^{2} } dla n całkowitego. Faktycznie to jest strasznie wymuszone, mógłby ktoś przedstawić ten dowód albo dać wskazówkę jak tego dowieść? Nic mi nie przychodzi do głowy.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 kwi 2016, o 23:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10571
Lokalizacja: Wrocław
Niech k będzie liczbą całkowitą i 3 | k^{2}. Zatem
k^{2}=3l dla pewnego l naturalnego. Zapiszmy k=3m+r, gdzie r\in\left\{ 0,1,2\right\} oraz m \in \ZZ (por. dzielenie z resztą). Po podniesieniu do kwadratu mamy
9m^{2}+6mr+r^{2}=3l, a po prostych przekształceniach, r^{2}=3(l-3m^{2}-2mr). Po prawej stronie mamy liczbę podzielną przez 3, zatem 3 dzieli r^{2}. Ale r^{2}\in \left\{ 0,1,4\right\}, więc musi być r^{2}=0, czyli r=0

Strasznie brzydki dowód, ale taki mi akurat przyszedł na myśl. Inaczej:
niech k \in \ZZ. Dokładnie jedna z liczb k,k-1, k+1 jest podzielna przez trzy.
Jeśli k^{2}=3l dla pewnego l całkowitego, to równoważnie k^{2}-1=3l-1.
3l-1 daje resztę 2 z dzielenia przez 3, więc nie dzieli się przez 3. Zatem k^{2}-1=(k-1)(k+1) nie dzieli się przez trzy, a stąd ani k-1, ani k+1 nie dzieli się przez 3. Wobec tego k dzieli się przez 3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2016, o 23:39 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Rzeszów
Dzięki wielkie jeszcze raz. Przygotowuje się na konkurs i zadania na podzielność idą mi dość opornie, no ale teraz wiem w jakim kierunku kombinować.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl