szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 kwi 2016, o 10:44 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: warszawa
Witam wszystkich, proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:

Mamy 12 kul. 1 zieloną, 1 niebieską, 1 czerwoną, 1 żółtą, 1 białą i 7 czarnych. Na ile sposobów można umieścić te kule w 4 urnach, tak żeby w każdej urnie była co najmniej jedna kula?

Nie mam pojęcia jak poprawnie rozwiązać to zadanie, domyślam się, że trzeba skorzystać z zasady włączeń i wyłączeń, ale nic więcej nie przychodzi mi do głowy, więc będę wdzięczna za wskazówki :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2016, o 11:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Zakładam, że urny są rozróżnialne, oraz, że czarne kule między sobą są nierozróżnialne, kule pojedyncze nazwijmy kulami kolorowymi.

najpierw musisz zapełnić wszystkie urny przynajmniej jedną kulą a możesz to zrobić tak:

k - kolorowa, cz - czarna

1. \left\{ 0k, 4cz\right\} , zostaje - 5k, 3cz

2. \left\{ 1k, 3cz\right\} , zostaje - 4k, 4cz

3. \left\{ 2k, 2cz\right\} , zostaje - 3k, 5cz

4. \left\{ 3k, 1cz\right\} , zostaje - 2k, 6cz

5. \left\{ 4k, 0cz\right\} , zostaje - 1k, 7cz

I teraz to czym musisz zapełniać czyli to z lewej musisz umieszczać suriektywnie a to co z prawej umieszczasz na chybił trafił.

To tak z grubsza , bo masz tu pomieszane kule rozróżnialne i nierozróżnialne.

Przypadek pierwszy:

masz zero kolorowych i umieszczasz wszystkie czarne w czterech urnach co daje jeden sposób,
zostaje pięć kolorowych i trzy czarne

Musisz zastosować tu wariacje z powtórzeniami i kombinacje z powtórzeniami:

4^5 \cdot  {3+4-1 \choose 3}

Podobnie drugi przypadek:

wybierasz spośród kolorowych jedną i umieszczasz suriektywnie w urnach czterech:
Potem wybierasz te urny w których umieszczasz kolorową a do pozostałych czarne (tu nie ma rozróżnień)

{5 \choose 1} \cdot   {4 \choose 1} \cdot 4^4 \cdot {4+4-1 \choose 4}

ad.3:

{5 \choose 2} \cdot   {4 \choose 2} \cdot 2! \cdot 4^3 \cdot {5+4-1 \choose 5}

Mnożę jeszcze przez dwa silnia bo te kolorowe jeszcze w dwóch wybranych urnach mogę permutować

ad.4:

{5 \choose 3} \cdot   {4 \choose 3} \cdot 3! \cdot 4^2 \cdot {6+4-1 \choose 6}

ad.5:

{5 \choose 4} \cdot   {4 \choose 4} \cdot 4! \cdot 4^1 \cdot {7+4-1 \choose 7}

Teraz te przypadki trzeba zsumować...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 kwi 2016, o 14:37 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: warszawa
dzięki za odpowiedź! Jednak nie jestem przekonana co do jej poprawności, wydaje mi się, że dużo sytuacji jest liczonych podwójnie, albo nawet większą ilość razy. Np sytuacja w której w pierwszych trzech urnach mamy 1 kulę kolorową i jedną czarną, a w czwartej urnie resztę, jest uwzględniona w każdym z powyższych przypadków. Czy tak nie jest?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2016, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Masz racje mogą się powtarzać dobrze żeś zauważyła.
Ale mam inny pomysł mam nadzieję, że lepszy:

Najpierw umieśćmy kule czarne w jednej urnie:

{4 \choose 1} sposobów, a kule kolorowe na dwa sposoby:

najpierw w urnach pustych, czyli suriekcje S(5,3), a potem we wszystkich urnach, czyli:

S(5,4)

co razem da możliwości:

{4 \choose 1} \cdot S(5,3)+{4 \choose 1} \cdot S(5,4)

Drugi przypadek wsadzamy kule czarne do dwóch urn i dbamy, żeby żadna urna nie była pusta:

A potem wrzucamy kule kolorowe w pierwszym przypadku do pustych urn potem do pustych i do jednej w której są czarne kule i to na dwa sposoby a potem suriekcje na wszystkie urny idą.

{4 \choose 2} \cdot  {7-1 \choose 2-1}  \cdot S(5,2)+ {4 \choose 2} \cdot  {7-1 \choose 2-1} 2 \cdot S(5,3)+ {4 \choose 2} \cdot  {7-1 \choose 2-1}  \cdot S(5,4)

Trzeci przypadek wrzucamy czarne kule do trzech urn na sposobów:

i mamy suriekcje na jedną, dwie, trzy i cztery urny kul kolorowych

Wybieramy np. w trzeciej sumie dwie urny w których są czarne kule i urnę pustą i w te urny dajemy kule kolorowe, a ponieważ kule czarna są w trzech urnach więc dwie urny do , których ładujemy kule kolorowe wybieramy na: {3 \choose 2} sposobów, itd...

{4 \choose 3} \cdot   {7-1 \choose 3-1} \cdot S(5,1)+  {4 \choose 3} \cdot   {7-1 \choose 3-1} \cdot 3 \cdot  S(5,2)+  {4 \choose 3} \cdot   {7-1 \choose 3-1} \cdot {3 \choose 2} \cdot S(5,3) + {4 \choose 3} \cdot   {7-1 \choose 3-1} \cdot S(5,4)

Czwarty przypadek wsadzamy czarne kule do wszystkich urn a kolorowe kule wsadzamy za pomocą wariacji z powtórzeniami do wszystkich urn:

{7-1 \choose 4-1} \cdot 4^5

a teraz sumujemy przypadki i teraz na pewno sytuacje się nie powtórzą bo czarne wsadzam osobno a kolorowe upycham suriekcjami...

Generalnie taką zasadę tu mam:

Najpierw umieszczam czarne kule: w jednej, dwóch, trzech i czterech urnach (Liczę sposoby kombinacje z powtórzeniem bez pustych miejsc).

A potem kule kolorowe wrzucam suriektywnie w puste urny, oraz w te urny w których już leżą czarne kule (jednej, drugiej, trzeciej,...). Ostatni przypadek gdzie wszystkie urny są zajęte przez czarne używam wariacji z powtórzeniami dla kul kolorowych bo tu już mogę sobie na to pozwolić.

Cała trudność tego zadania polegała na tym, że mieliśmy połączone kule rozróżnialne, nierozróżnialne a do tego były suriekcje czyli "na"...

Dzięki za wskazanie błędu widać, że ktoś myśli...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2016, o 17:03 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
onmyway napisał(a):
Nie mam pojęcia jak poprawnie rozwiązać to zadanie, domyślam się, że trzeba skorzystać z zasady włączeń i wyłączeń,
Chyba tak będzie najprościej, więc do dzieła. Ile jest wszystkich możliwości rozmieszczenia kul? Ile jest takich rozmieszczeń, że pierwsza urna jest pusta? Itd.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Worki (nierozroznialne) i kule(pozycja nierozroznialna)  author  2
 Zasada Włączania i wyłączania - zadanie 2  EwaG  3
 Losowanie par kul z urny (zasada włączeń i wyłączeń)  tommasz  2
 Kolorowe kule.  Ola90  1
 Umieszczanie 7 przedmiotów w 7 urnach  Przemmek  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl