szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 kwi 2016, o 14:07 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Witam!
Bardzo potrzebuje pomocy z matematyki dyskretnej ponieważ Pan profesor prowadzący wykład wymyślił sobie aby zaliczyć przedmiot trzeba przygotować referat na wylosowany przez siebie temat i tu jest problem gdyż wylosowałem temat:
"Rozwiązać równianie różnicowe Fibonacciego"
"Zasada: Znaleźć,doczytać,zrozumieć i opisać własnymi słowami. Dodać źródła."
Bardzo prosiłbym o pomoc bo kompletnie nie wiem jak zabrać się do tego.
googlowałem i na razie nie znalazłem nic konretnego :(.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 kwi 2016, o 17:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Proponuję wylosować inny temat.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 kwi 2016, o 17:41 
Użytkownik

Posty: 3459
I. Wstęp

Podaj krótką historię równania Leonardo Fibonacciego, co ono opisuje (rozmnażanie królików), jego postać.

II. Rozwiązania równania Fibonacciego.

Rozwiąż równanie Fibonacciego przynajmniej dwoma z trzech sposobów.

Sposób pierwszy

Metoda funkcji tworzącej.

Sposób drugi

Rozwiązanie równania różnicowego - jednorodnego.

F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2},\ \  n\geq 2, przy warunkach początkowych:

F_{0}=1, \ \ F_{1}=1,\ \ F_{2}= 2.

Sposób trzeci

Metoda wartości i wektorów własnych.

III. Zakończenie

Podaj rozwiązania równania dla różnych wartości n\geq 2
Wyciągnij odpowiednie wnioski.

Przykładowe źródła:

1. Ira Koźniewska. Równania rekurencyjne. PWN. Warszawa 1972.

2. Wiesława Regiel. 103 zadania z kombinatoryki i teorii grafów. Wyd. Bila. Rzeszów 2008.

3. Michał Krych. Wykład 8 matematyki dla chemików. UW. Warszawa 2015.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 kwi 2016, o 18:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6622
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Co do tego trzeciego sposobu to trzeba równanie różnicowe przekształcić
do układu równań różnicowych ? (Piszę przez analogię do równań różniczkowych)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 kwi 2016, o 19:59 
Użytkownik

Posty: 12615
Co do trzeciego:
F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}
No to możemy to przedstawić tak:
\left[\begin{array}{c}F_{n+1}\\F_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}F_{n}\\F_{n-1}\end{array}\right]
poczynając od n=1. Indukcyjnie dostajemy
\left[\begin{array}{c}F_{n+1}\\F_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right]^{n}\left[\begin{array}{c}F_{1}\\F_{0}\end{array}\right]

Teraz potęgujemy tę macierz, co robimy, znajdując wartości własne i wektory własne, a następnie przedstawiając bądź to w postaci PDP^{-1}, gdzie D jest macierzą diagonalna, mającą na przekątnej wartości własne macierzy \left[\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right], zaś kolumnami P są wektory własne macierzy \left[\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right], bądź w postaci Jordana, żeby to się jakoś sensownie potęgowało.

Tak mnie przynajmniej uczono trzy lata temu na algebrze liniowej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 kwi 2016, o 14:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6622
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
y''=y'+y\qquad y\left( 0\right) =0 \qquad y'\left( 0\right)=1\\
 \begin{cases}u'=u+y  \\ y'=u \end{cases}  \\
\det{ \begin{bmatrix} 1-\lambda&1 \\ 1&-\lambda \end{bmatrix} }=0\\
-\lambda\left( 1-\lambda\right)-1=0\\
\lambda^2-\lambda-1=0\\
\left( \lambda-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4}=0\\
\left( \lambda-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left( \lambda-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) =0\\
\lambda_{1}=\frac{1- \sqrt{5} }{2}\\ 
\begin{cases} v_{1}\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+v_{2}=0  \\ v_{1}-\left(  \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)v_{2}=0  \end{cases} \\
v_{2}=-\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)v_{1} \\
v_{1} \begin{bmatrix} -2 \\ 1+ \sqrt{5}  \end{bmatrix} \\
\lambda_{2}=\frac{1+ \sqrt{5} }{2}\\
 \begin{cases} v_{1}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)+v_{2}=0  \\ v_{1}-\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)v_{2}=0  \end{cases} \\
v_{1}=\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)v_{2}\\
v_{2} \begin{bmatrix}  1+\sqrt{5}\\2 \end{bmatrix}\\
 \begin{bmatrix} u\left( t\right)  \\ y\left( t\right)  \end{bmatrix}=v_{2} \begin{bmatrix}  1+\sqrt{5}\\2 \end{bmatrix}e^{\left(\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)t }+v_{1} \begin{bmatrix} -2 \\ 1+ \sqrt{5}  \end{bmatrix}e^{\left(\frac{1- \sqrt{5} }{2} \right) t} \\
 \begin{cases} -2v_{1}+\left( 1+ \sqrt{5} \right)v_{2}=1  \\ \left( 1+\sqrt{5}\right)v_{1}+2v_{2}=0  \end{cases} \\
\begin{cases} -2\left( 1- \sqrt{5} \right) v_{1}-4v_{2}=1-\sqrt{5}  \\ 2\left( 1+\sqrt{5}\right)v_{1}+4v_{2}=0  \end{cases} \\
\begin{cases}  v_{2}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}v_{1}\\4\sqrt{5}v_{1}=1-\sqrt{5} \end{cases} \\
 \begin{cases}  v_{2}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}v_{1}\\20v_{1}=\sqrt{5}-5 \end{cases} \\
\begin{cases} v_{2}=\frac{\left(5- \sqrt{5}  \right)\left( 1+ \sqrt{5} \right)  }{40}\\v_{1}=-\frac{5-\sqrt{5}}{20} \end{cases} \\
\begin{cases} v_{2}=\frac{\sqrt{5} }{10}\\v_{1}=-\frac{5-\sqrt{5}}{20} \end{cases} \\
 \begin{bmatrix} u\left( t\right)  \\ y\left( t\right)  \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}  \frac{5+ \sqrt{5} }{10}\\\frac{ \sqrt{5} }{5} \end{bmatrix}e^{\left(\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)t }+ \begin{bmatrix} \frac{5-\sqrt{5}}{10} \\ -\frac{\sqrt{5}}{5}  \end{bmatrix}e^{\left(\frac{1- \sqrt{5} }{2} \right) t} \\

y\left( t\right)= \frac{ \sqrt{5} }{5}\left(e^{\left(\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)t }-e^{\left(\frac{1- \sqrt{5} }{2} \right) t} \right)
jest wykładniczą funkcją tworzącą ciągu Fibonacciego

y''=y'+y\qquad y\left( 0\right) =0 \qquad y'\left( 0\right)=1\\
F\left( s\right)= \int_{0}^{ \infty }{f\left( t\right)e^{-st} \mbox{d}t }  \\
s^{2}Y\left( s\right)-1=sY\left( s\right)+Y\left( s\right)\\
Y\left( s\right)\left( s^2-s-1\right)=1\\
Y\left( s\right)=\frac{1}{s^2-s-1}\\
 \frac{1}{\left( s-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4} }=\frac{1}{\left( s-\frac{1- \sqrt{5} }{2}\right)\left( s-\frac{1+ \sqrt{5} }{2}\right) }\\
\frac{1}{s^2-s-1}=\frac{A}{s-\frac{1- \sqrt{5} }{2}}+\frac{B}{s-\frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\\
A\left(s-\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)+B\left(s-\frac{1- \sqrt{5} }{2} \right)=1\\
 \begin{cases} A+B=0 \\-\frac{1+ \sqrt{5} }{2}A -\frac{1- \sqrt{5} }{2} B=1 \end{cases} \\
 \begin{cases} B=-A \\-\frac{1+ \sqrt{5} }{2}A +\frac{1- \sqrt{5} }{2} A=1 \end{cases} \\
 \begin{cases}  \sqrt{5}A=-1  \\  \sqrt{5}B=1  \end{cases} \\
\frac{1}{s^2-s-1}=-\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot  \frac{1}{s-\frac{1- \sqrt{5} }{2}}+ \frac{ \sqrt{5} }{5}  \cdot \frac{1}{s-\frac{1+ \sqrt{5} }{2}}   \\
y\left( t\right)= \frac{ \sqrt{5} }{5}\left( e^{\left(  \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)t }-e^{\left(  \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right)t }\right)   \\

Odpowiednikiem przekształcenia Laplace dla równań różnicowych jest przekształcenie Z
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 16:41 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
arek1357 napisał(a):
Proponuję wylosować inny temat.

Żeby to było takie proste jak się wydaje- myślałem o tym , ale nie ma szans w tym problem :(

-- 11 kwi 2016, o 16:44 --

janusz47 napisał(a):
I. Wstęp

Podaj krótką historię równania Leonardo Fibonacciego, co ono opisuje (rozmnażanie królików), jego postać.

II. Rozwiązania równania Fibonacciego.

Rozwiąż równanie Fibonacciego przynajmniej dwoma z trzech sposobów.

Sposób pierwszy

Metoda funkcji tworzącej.

Sposób drugi

Rozwiązanie równania różnicowego - jednorodnego.

F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2},\ \  n\geq 2, przy warunkach początkowych:

F_{0}=1, \ \ F_{1}=1,\ \ F_{2}= 2.

Sposób trzeci

Metoda wartości i wektorów własnych.

III. Zakończenie

Podaj rozwiązania równania dla różnych wartości n\geq 2
Wyciągnij odpowiednie wnioski.

Przykładowe źródła:

1. Ira Koźniewska. Równania rekurencyjne. PWN. Warszawa 1972.

2. Wiesława Regiel. 103 zadania z kombinatoryki i teorii grafów. Wyd. Bila. Rzeszów 2008.

3. Michał Krych. Wykład 8 matematyki dla chemików. UW. Warszawa 2015.

Piękne! tylko nie rozumiem tych sposobów i jak je rozwiązać? czy potrzebne są te równania skoro mam rozwiązać jedno- to właśnie różnicowe?

-- 11 kwi 2016, o 16:46 --

mariuszm napisał(a):
y''=y'+y\qquad y\left( 0\right) =0 \qquad y'\left( 0\right)=1\\
 \begin{cases}u'=u+y  \\ y'=u \end{cases}  \\
\det{ \begin{bmatrix} 1-\lambda&1 \\ 1&-\lambda \end{bmatrix} }=0\\
-\lambda\left( 1-\lambda\right)-1=0\\
\lambda^2-\lambda-1=0\\
\left( \lambda-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4}=0\\
\left( \lambda-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left( \lambda-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) =0\\
\lambda_{1}=\frac{1- \sqrt{5} }{2}\\ 
\begin{cases} v_{1}\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+v_{2}=0  \\ v_{1}-\left(  \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)v_{2}=0  \end{cases} \\
v_{2}=-\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)v_{1} \\
v_{1} \begin{bmatrix} -2 \\ 1+ \sqrt{5}  \end{bmatrix} \\
\lambda_{2}=\frac{1+ \sqrt{5} }{2}\\
 \begin{cases} v_{1}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)+v_{2}=0  \\ v_{1}-\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)v_{2}=0  \end{cases} \\
v_{1}=\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)v_{2}\\
v_{2} \begin{bmatrix}  1+\sqrt{5}\\2 \end{bmatrix}\\
 \begin{bmatrix} u\left( t\right)  \\ y\left( t\right)  \end{bmatrix}=v_{2} \begin{bmatrix}  1+\sqrt{5}\\2 \end{bmatrix}e^{\left(\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)t }+v_{1} \begin{bmatrix} -2 \\ 1+ \sqrt{5}  \end{bmatrix}e^{\left(\frac{1- \sqrt{5} }{2} \right) t} \\
 \begin{cases} -2v_{1}+\left( 1+ \sqrt{5} \right)v_{2}=1  \\ \left( 1+\sqrt{5}\right)v_{1}+2v_{2}=0  \end{cases} \\
\begin{cases} -2\left( 1- \sqrt{5} \right) v_{1}-4v_{2}=1-\sqrt{5}  \\ 2\left( 1+\sqrt{5}\right)v_{1}+4v_{2}=0  \end{cases} \\
\begin{cases}  v_{2}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}v_{1}\\4\sqrt{5}v_{1}=1-\sqrt{5} \end{cases} \\
 \begin{cases}  v_{2}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}v_{1}\\20v_{1}=\sqrt{5}-5 \end{cases} \\
\begin{cases} v_{2}=\frac{\left(5- \sqrt{5}  \right)\left( 1+ \sqrt{5} \right)  }{40}\\v_{1}=-\frac{5-\sqrt{5}}{20} \end{cases} \\
\begin{cases} v_{2}=\frac{\sqrt{5} }{10}\\v_{1}=-\frac{5-\sqrt{5}}{20} \end{cases} \\
 \begin{bmatrix} u\left( t\right)  \\ y\left( t\right)  \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}  \frac{5+ \sqrt{5} }{10}\\\frac{ \sqrt{5} }{5} \end{bmatrix}e^{\left(\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)t }+ \begin{bmatrix} \frac{5-\sqrt{5}}{10} \\ -\frac{\sqrt{5}}{5}  \end{bmatrix}e^{\left(\frac{1- \sqrt{5} }{2} \right) t} \\

y\left( t\right)= \frac{ \sqrt{5} }{5}\left(e^{\left(\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)t }-e^{\left(\frac{1- \sqrt{5} }{2} \right) t} \right)
jest wykładniczą funkcją tworzącą ciągu Fibonacciego

y''=y'+y\qquad y\left( 0\right) =0 \qquad y'\left( 0\right)=1\\
F\left( s\right)= \int_{0}^{ \infty }{f\left( t\right)e^{-st} \mbox{d}t }  \\
s^{2}Y\left( s\right)-1=sY\left( s\right)+Y\left( s\right)\\
Y\left( s\right)\left( s^2-s-1\right)=1\\
Y\left( s\right)=\frac{1}{s^2-s-1}\\
 \frac{1}{\left( s-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4} }=\frac{1}{\left( s-\frac{1- \sqrt{5} }{2}\right)\left( s-\frac{1+ \sqrt{5} }{2}\right) }\\
\frac{1}{s^2-s-1}=\frac{A}{s-\frac{1- \sqrt{5} }{2}}+\frac{B}{s-\frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\\
A\left(s-\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)+B\left(s-\frac{1- \sqrt{5} }{2} \right)=1\\
 \begin{cases} A+B=0 \\-\frac{1+ \sqrt{5} }{2}A -\frac{1- \sqrt{5} }{2} B=1 \end{cases} \\
 \begin{cases} B=-A \\-\frac{1+ \sqrt{5} }{2}A +\frac{1- \sqrt{5} }{2} A=1 \end{cases} \\
 \begin{cases}  \sqrt{5}A=-1  \\  \sqrt{5}B=1  \end{cases} \\
\frac{1}{s^2-s-1}=-\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot  \frac{1}{s-\frac{1- \sqrt{5} }{2}}+ \frac{ \sqrt{5} }{5}  \cdot \frac{1}{s-\frac{1+ \sqrt{5} }{2}}   \\
y\left( t\right)= \frac{ \sqrt{5} }{5}\left( e^{\left(  \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)t }-e^{\left(  \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right)t }\right)   \\

Odpowiednikiem przekształcenia Laplace dla równań różnicowych jest przekształcenie Z

Czy to jest to równianie o którym mowa (równanie różnicowe Fibonacciego?) jeżeli tak to bardzo proszę o objaśnienie tego abym to mógł jakoś napisać. Wszyscy którzy się wypowiedzieli naprawdę bardzo dziękuje za pomoc i proszę jeszcze o więcej. Każdy który pomógł podziękowałem w sposób użycia przycisku "pomógł";
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 18:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6622
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
To jest rozwiązanie równania różniczkowego które powstaje
po skorzystaniu z wykładniczej funkcji tworzącej (dla ciągu jedynek daje ona funkcję e^{x} )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2016, o 18:29 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Pomoże ktoś jeszcze?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 16 kwi 2016, o 09:47 
Użytkownik

Posty: 15237
Lokalizacja: Bydgoszcz
Już tydzień czekasz na podpowiedzi. Zrobiłeś coś sam? To w końcu Ty piszesz ten referat...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2016, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
a4karo napisał(a):
Już tydzień czekasz na podpowiedzi. Zrobiłeś coś sam? To w końcu Ty piszesz ten referat...

Tak owszem próbuje szukać na internecie i w książkach od matematyki dyskretnej i nie widzę tego, tymbardziej ciężej mi takie coś ogarnąć jak jeszcze miałbym ten temat na studiach to bym spróbował sam rozwiązać a tak to nie miałem nawet takiego tematu jak równiania różnicowe czy też różniczki, więc dlatego proszę o pomoc.
Góra
PostNapisane: 16 kwi 2016, o 14:54 
Użytkownik
Cytuj:
opisać własnymi słowami.


To jak chcesz spełnić ten wymóg, jeżeli ludzie za Ciebie to piszą albo szukasz gotowca?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2016, o 15:29 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
miodzio1988 napisał(a):
Cytuj:
opisać własnymi słowami.


To jak chcesz spełnić ten wymóg, jeżeli ludzie za Ciebie to piszą albo szukasz gotowca?

Liczę, że ktoś mi to po proostu wytłumaczy abym to zrozumiał i wtedy postaram się to opisać własnymi słowami.
Góra
PostNapisane: 16 kwi 2016, o 15:54 
Użytkownik
W takim razie jakie masz konkretnie pytania? Bo więcej Ci już nie napiszemy, resztę sam masz pisać
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2016, o 16:02 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
miodzio1988 napisał(a):
W takim razie jakie masz konkretnie pytania? Bo więcej Ci już nie napiszemy, resztę sam masz pisać

Proszę bardzo o to moje pytanie:
Od jakiej postaci równiania fibonacciego wyjść aby rozwiązać to równanie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiazywanie rownania z uzyciem wzoru Newtona  birdy1986  7
 m dyskretna - Ile jest całkowitych rozwiązań równania .  torbol  1
 Kombinatoryka (rozwiąż równania)  allexx  3
 Jak kombinatorycznie dowieść poprawność równania??  tupatek  2
 ilość rozwiązań równania  prymas  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl