szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 kwi 2016, o 10:38 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa
Chciałbym rozwiązać poniższe zadanie, ale nie wiem jak to zrobić.
Znajdź\sum_{ \infty }^{n=0}  \sum_{n}^{k=0} \frac{ F_{2k}  F_{n-k}  }{ 10^{n}  }, gdzie F_{n} to n-ta liczba Fibonacciego

Widzę, że jest to splot F_{2n} z F_{n}, ale nie wiem jak wygląda funkcja tworząca F_{2n}.

Czy wystarczy w miejsce x z F_{n}(x) wstawić x^{2}?

Czy można podstawić w funkcji tworzącej otrzymanego splotu \frac{1}{10} pod x? Nie wiem kiedy to jest poprawne, bo podstawiając np. x=1 pod F_{n}(x) otrzymujemy niewłaściwy wynik.

-- 10 kwi 2016, o 13:38 --

Dobra, znalazłem funkcję tworzącą parzystych liczb Fibonacciego w innym temacie.
Pozostaje pytanie o zbieżność po podstawieniu wartości pod x.

Nie wiem jak ją wykazać dla tego szeregu.
I czy zbieżność jest równoważna z prawidłowym wynikiem po podstawieniu wartości do funkcji tworzącej.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
PostNapisane: 10 kwi 2016, o 17:00 
Użytkownik
Zobacz tu: 405758.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 kwi 2016, o 17:16 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa
O, właśnie w tym temacie znalazłem funkcję tworzącą parzystych liczb Fibonacciego. Nie wiem jednak czy podstawienie 1/10 jest legalne (tzn. pewnie jest, ale nie wiem czemu)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 02:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6604
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
10^{n}=10^{k} \cdot 10^{n-k}\\
10^{n}=\left(  \sqrt{10} \right)^{2k}\cdot 10^{n-k}\\

Na pierwszy rzut oka nie wiadomo skąd się wzięło to równanie rekurencyjne
(Oczywiście odpowiednie manipulowanie wzorem f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}
pozwoli je uzyskać ale równanie to jak i funkcję tworzącą można dostać z równania na ciąg Fibonacciego)

f_{n}=f_{n-1}+f_{n}\qquad f_{0}=0\qquad f_{1}=1\\
F\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{f_{n}x^{n}}\\
 \sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}=\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n-2}x^{n}}  \\
\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}=x\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n-1}x^{n-1}}+x^2\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}=x\sum_{n=1}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}+x^2\sum_{n=0}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}-x-0=x\left( \sum_{n=0}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}-0\right) +x^2\sum_{n=0}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}\\
F\left( x\right)-x=xF\left( x\right) +x^2F\left( x\right)\\
F\left( x\right)=\frac{x}{1-x-x^2}\\
\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{A}{1-\left(  \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)x }+\frac{B}{1-\left(  \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)x } \\
 \begin{cases} A+B=0 \\ \left(  \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)A+\left(  \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)B=-1 \end{cases}  \\
 \begin{cases} B=-A \\ \left(  \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)A-\left(  \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)A=-1 \end{cases}  \\
 \begin{cases} \sqrt{5}A=-1 \\ \sqrt{5}B=1 \end{cases} \\
\frac{x}{1-x-x^2}=- \frac{1}{ \sqrt{5} }  \cdot \frac{1}{1-\left(  \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)x }+  \frac{1}{ \sqrt{5} } \cdot \frac{1}{1-\left(  \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)x } \\
\frac{x}{1-x-x^2}=- \frac{1}{ \sqrt{5} } \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \left(  \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right)^nx^n \right)+\frac{1}{ \sqrt{5} } \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \left(  \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)^nx^n \right) \\
f_{n}= \frac{1}{ \sqrt{5} }\left(  \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)^{n} -\frac{1}{ \sqrt{5} }\left(  \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right)^{n}  \\
f_{2n}=\frac{1}{ \sqrt{5} }\left(  \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)^{2n} -\frac{1}{ \sqrt{5} }\left(  \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right)^{2n}  \\
f_{2n}=\frac{1}{ \sqrt{5} }\left(  \frac{\left( 1+ \sqrt{5}\right)^2  }{4} \right)^{n} -\frac{1}{ \sqrt{5} }\left(  \frac{\left( 1- \sqrt{5}\right)^2  }{4} \right)^{n}  \\
f_{2n}=\frac{1}{ \sqrt{5} }\left(  \frac{ 3+ \sqrt{5}  }{2} \right)^{n} -\frac{1}{ \sqrt{5} }\left(  \frac{ 3- \sqrt{5}  }{2} \right)^{n}  \\
A\left(x\right)= \frac{1}{ \sqrt{5} } \cdot  \frac{1}{1-\left(  \frac{ 3+ \sqrt{5}  }{2} \right)x } -
\frac{1}{ \sqrt{5} } \cdot  \frac{1}{1-\left(  \frac{ 3- \sqrt{5}  }{2} \right)x } \\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile różnych dzielników ma liczba  Anonymous  8
 Liczby KN, ilosc liczb fibonacciego w danym przedziale ...  KHR  10
 Ilu jest uczniów w klasie jesli wiadomo że liczba utworzo  Acura_100  5
 wykazać że istnieje liczba całkowita podzielna przez 17..  noob  2
 liczba znajomych  noob  1
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl