szukanie zaawansowane
 [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 12:31 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Radom
Witam, zastanawia mnie dlaczego dziedziną funkcji określonej wzorem f(x)=x^x są tylko liczby nieujemne. Mógłby ktoś podać jakiś konkretny argument, co jest tego powodem?
Góra
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 12:39 
Użytkownik
Ile to jest np

(-2)^{-2}

?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 13576
Lokalizacja: Bydgoszcz
miodzio1988 napisał(a):
Ile to jest np

(-2)^{-2}

?


\frac{1}{4}

Wyrażenie x^x ma sens dla co poniektórych ujemnych liczb wymiernych. Natomiast dla niewymiernych zaczyna się potworna ekwilibrystyka: potęgę niewymierna okresla się jako granice potęg wymiernych, ale dla ujemnych argumentów nie każda potęga wymierna ma sens. Lepiej więc przyjąć, że ta dziedziną są liczby nieujemne i nie zawracać sobie głowy wyjątkami.

Poza tym powstaja problemy takiego typu:

\left(-\frac{3}{5}\right)^{-\frac{3}{5}}=-\sqrt[5]{\frac{27}{125}}<0
ale
\left(-\frac{3}{5}\right)^{-\frac{3}{5}}=\left(-\frac{3}{5}\right)^{-\frac{6}{10}}=\sqrt[10]{\left(-\frac{3}{5}\right)^6}=\sqrt[10]{\left(\frac{726}{15625}\right)}>0
Góra
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 13:29 
Użytkownik
Bardzo dobrze.
Jaki z tego wniosek a4karo ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 20:57 
Użytkownik

Posty: 13576
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie zauważyłeś wniosków?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 23:54 
Użytkownik

Posty: 430
Lokalizacja: Wrocław
\left(-\frac{3}{5}\right)^{-\frac{3}{5}}={\red \left(-\frac{3}{5}\right)^{-\frac{6}{10}}=\sqrt[10]{\left(-\frac{5}{3}\right)^6}}=\sqrt[10]{\left(\frac{15625}{ 726}\right)}>0

Powołując się na wikipedię :-)
https://pl.wikipedia.org/wiki/Pot%C4%99gowanie#Pierwiastek.2C_pot.C4.99ga_wymierna
Liczby 6 i 10 nie są względnie pierwsze, więc takie działanie nie jest dozwolone.

Poszerzając dziedzinę x^x o ujemne liczby wymierne nieskracalne o nieparzystym mianowniku i po odpowiednich przekształceniach wyszło mi takie coś:

x^x=\begin{cases} x^{x} \quad \quad \quad;  x>0\\  \frac{1}{(-x)^{-x}} \quad ;  x \in \left\{ - \frac{2k}{2n+1}; n \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{N}_{+} }\right\}  \\    
-\frac{1}{(-x)^{-x}} \quad ;  x \in \left\{ - \frac{2k+1}{2n+1}; n \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{N} }\right\}  
\end{cases}

Wykres dla liczb ujemnych widać, że "dzieli się na dwie odnogi - dodatnią oraz ujemną", które "patrząc z daleko są symetryczne względem osi OX".

Cytuj:
Natomiast dla niewymiernych zaczyna się potworna ekwilibrystyka: potęgę niewymierna okresla się jako granice potęg wymiernych, ale dla ujemnych argumentów nie każda potęga wymierna ma sens.


I tu się nasuwa pytanie jaka jest ta granica. Dziedziną tej granicy będą ujemne liczby wymierne nieskracalne o mianowniku nieparzystym. Jeśli licznik będzie parzysty to przybliżeniem będzie liczba dodatnia, a jeśli licznik będzie nieparzysty to przybliżeniem będzie liczba ujemna. Nie jesteśmy w stanie określić czy granica będzie miała parzysty czy nieparzysty licznik, więc ta granica nie będzie istnieć, a to pociąga za sobą nieistnienie liczby.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 06:23 
Użytkownik

Posty: 13576
Lokalizacja: Bydgoszcz
Straznik Teksasu napisał(a):
\left(-\frac{3}{5}\right)^{-\frac{3}{5}}={\red \left(-\frac{3}{5}\right)^{-\frac{6}{10}}=\sqrt[10]{\left(-\frac{5}{3}\right)^6}}=\sqrt[10]{\left(\frac{15625}{ 726}\right)}>0

Powołując się na wikipedię :-)
https://pl.wikipedia.org/wiki/Pot%C4%99gowanie#Pierwiastek.2C_pot.C4.99ga_wymierna
Liczby 6 i 10 nie są względnie pierwsze, więc takie działanie nie jest dozwolone.



W przykładzie nie chodzi o to, że takie działanie jest niedozwolone, lecz oto, że przestają zachodzić prawa potęgowania, do których "przyzwyczailiśmy się" pracując na liczbach dodatnich. W końcu nie zaprzeczysz, że -\frac{3}{5}=-\frac{6}{10}=6\cdot\left(-\frac{1}{10}\right), ale z przykładu wynika, że np. nie zachodzi
a^{{b}{c}}=(a^b)^c
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 15:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5697
immaris napisał(a):
dlaczego dziedziną funkcji określonej wzorem f(x)=x^x są tylko liczby nieujemne.

Problematyczna jest jeszcze jedynka.
Podstawa funkcji wykładniczej podobnie jak logarytmicznej często definiowana jest jako dodatnia i różna od jeden.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 15:49 
Użytkownik

Posty: 13576
Lokalizacja: Bydgoszcz
kerajs napisał(a):
immaris napisał(a):
dlaczego dziedziną funkcji określonej wzorem f(x)=x^x są tylko liczby nieujemne.

Problematyczna jest jeszcze jedynka.
Podstawa funkcji wykładniczej podobnie jak logarytmicznej często definiowana jest jako dodatnia i różna od jeden.


A takich wątpliwości w życiu nie słyszałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 15:51 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
kerajs napisał(a):
Problematyczna jest jeszcze jedynka.
Podstawa funkcji wykładniczej podobnie jak logarytmicznej często definiowana jest jako dodatnia i różna od jeden.

To akurat nie jest żaden problem, tylko kwestia terminologiczna. Założenie, by podstawa funkcji wykładniczej była różna od 1 jest po to, by funkcja stała z wartością 1 nie podpadała pod definicję funkcji wykładniczej.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 17:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5697
Czyli przy pytaniu zamkniętym :
Cytuj:
Dziedziną funkcji y=x ^{2x+3} jest:
a) x \ge 0
b) x>0
c) x \in \RR _{+} \setminus \left\{ 1\right\}

maturzysta dostanie punkty przy zaznaczeniu której odpowiedzi ?
Czyli która odpowiedź będzie podana w kluczu jako poprawna ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 18:44 
Użytkownik

Posty: 13576
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ponieważ dziedzina jest zbiorem, to jedynym możliwym kandydatem jest c) ;P

Ja nie miałbym wątpliwości, że dziedziną jest zbiór liczb nieujemnych
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 19:02 
Użytkownik

Posty: 430
Lokalizacja: Wrocław
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3Dx%5E(2x%2B3)

Wolfram obstawia odpowiedź A
Starożytni Rzymianie obstawiali by odpowiedź B
a4karo obstawia odpowiedź C
ja bym obstawił odpowiedź D

Najlepiej chyba uznać, że wszystkie są poprawne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 19:24 
Użytkownik

Posty: 13576
Lokalizacja: Bydgoszcz
Straznik Teksasu napisał(a):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3Dx%5E(2x%2B3)

Wolfram obstawia odpowiedź A
Starożytni Rzymianie obstawiali by odpowiedź B
a4karo obstawia odpowiedź C
ja bym obstawił odpowiedź D

Najlepiej chyba uznać, że wszystkie są poprawne.



:) w pytaniu testowym spodziewam się, że odpowiedzi będą miały pozory poprawności: wyrażenia w odpowiedziach a) i b) nie są zbiorami lecz nierównościami, zatem z definicji nie mogą być dziedziną funkcji :)

Wolfram opisuje ten zbiór prawidłowo \{x\in\RR: x\geq 0\}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 19:32 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
kerajs napisał(a):
Czyli przy pytaniu zamkniętym :
Cytuj:
Dziedziną funkcji y=x ^{2x+3} jest:
a) x \ge 0
b) x>0
c) x \in \RR _{+} \setminus \left\{ 1\right\}

maturzysta dostanie punkty przy zaznaczeniu której odpowiedzi ?
Czyli która odpowiedź będzie podana w kluczu jako poprawna ?

Takie zadanie nie powinno pojawić się na maturze.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Funkcje, dziedzina  qkiz  3
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl