szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 17:19 
Użytkownik

Posty: 47
Lokalizacja: Gdańsk
Czy ktoś mógłby wytłumaczyć mi w miarę prosty sposób(tak krok po kroku) jak rozwiązuje się tego typu zadania:
1)Znajdź rozwiązanie ogólne dla każdego z poniższych równań rekurencyjnych
a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_{n}
2)Znajdź rozwiązanie szczególne dla każdego z poniższych równań rekurencyjnych:
c_{1}=7, c_{2}=10; c_{n+2}=2c_{n+1}-4c_{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 17:45 
Użytkownik

Posty: 12648
1) istnieje co najmniej kilka metod, np. metoda równania charakterystycznego (które bierze się z potęgowania macierzy) czy metoda funkcji tworzących.

Metoda funkcji tworzących:
a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_{n}\\ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n}= 2\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n}+3\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}\\  \frac{1}{x^{2}} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}=  \frac{2}{x} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}+3 \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}
Oznaczmy teraz S= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}. Wtedy powyższe można zapisać tak:
\frac{1}{x^{2}}(S-a_{1}x-a_{0})= \frac{2}{x}(S-a_{0})+3S\\ S= \frac{ \frac{a_{1}}{x}+ \frac{a_{0}}{x^{2}}- \frac{a_{0}}{2x}   }{ \frac{1}{x^{2}}- \frac{2}{x}-3  }= \frac{2xa_{1}+2a_{0}-xa_{0}}{2-4x-6x^{2}}
Dalej rozkładasz
\frac{2xa_{1}+2a_{0}-xa_{0}}{2-4x-6x^{2}} na ułamki proste i rozwijasz w szeregi (korzystając ze wzorów na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego i pochodną tejże sumy). Współczynnik stojący w rozwinięciu przy x^{n} to będzie a_{n}... Widzimy tutaj, że do jednoznacznego rozwiązania potrzebujemy danych wartości a_{0} i a_{1}, co nie powinno być zaskoczeniem.

-- 11 kwi 2016, o 17:09 --

Metodę równania charakterystycznego masz wszędzie opisaną, wystarczy wpisać "rekurencja liniowa równanie charakterystyczne" czy coś takiego, a przyszło mi do głowy jeszcze coś innego (tylko ten sposób nie jest chyba zbyt uniwersalny).
Mamy równanie
a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_{n}
Dodajmy stronami a_{n+1}, a otrzymamy a_{n+2}+a_{n+1}=3(a_{n+1}+a_{n}). Jeżeli teraz oznaczymy b_{n}=a_{n+1}+a_{n}, to b_{n+1}=3b_{n}, zatem ciąg (b_{n}) jest geometryczny. Jeżeli znamy a_{0} i a_{1}(a więc także b_{0}=a_{0}+a_{1}), to stąd łatwo dostaniemy b_{n}=3^{n}b_{0}=3^{n}(a_{0}+a_{1}), czyli a_{n}+a_{n+1}=3^{n}(a_{0}+a_{1})
Dalej: a_{n+1}=a_{n+1}+a_{n}-(a_{n}+a_{n-1})+a_{n-1}+a_{n-2}-...
i tak dalej, dla przykładu
a_{4}=a_{4}+a_{3}-(a_{3}+a_{2})+a_{2}+a_{1}-(a_{1}+a_{0})+a_{0}
Można to zwinąć ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, tylko trzeba dobrze policzyć, ile jest tych wyrazów i pamiętać o zmianie indeksów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 19:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6627
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Równanie charakterystyczne też nie jest zbyt uniwersalne spróbuj rozwiązać nim równanie na liczby Catalana czy równanie o zmiennych współczynnikach

Mamy też takie równania jak równanie na liczby Bernoulliego, Bella itp
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rownania rekurencyjne  doniczek  8
 Równania rekurencyjne  kamil.jack  0
 równania rekurencyjne - zadanie 2  Ja_89  4
 równania rekurencyjne - zadanie 3  Suzi86  3
 równania rekurencyjne - zadanie 4  rotka  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl