szukanie zaawansowane
 [ Posty: 22 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 19:47 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Wykaż, że jeśli x i y są liczbami dodatnimi, to: \sqrt{x ^{2} +y ^{2} } >  \sqrt[3]{x ^{3} + y^{3} }

Po przekształceniach, doszedłem do wniosku że:
\sqrt{(x+y)^{2}-2xy } >  \sqrt[3]{(x+y)^{3}-3xy}
x+y - \sqrt{2xy} > x + y -  \sqrt[3]{3xy}
\sqrt{-2xy} >  \sqrt[3]{-3xy}
I na tym etapie mam problem. Czy powinienem kombinować coś z wartością bezwzględną ( pierwiastek drugiego stopnia a po drugiej stronie trzeciego czyli brak wartości bezwzględnej po spierwiastkowaniu), czy o coś innego chodzi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 19:50 
Użytkownik

Posty: 12583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Mozesz pokazac i uzasadnić te przekształcenia?

Zwłaszcza wyrażenie \sqrt{-2xy} wygląda fascynująco.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 20:18 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: eu
Podnieś obustronnie do 6 potęgi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 21:30 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
\sqrt{x ^{2} +y ^{2} } >  \sqrt[3]{x ^{3} +y ^{3} } \\
 \sqrt{(x+y) ^{2} -2xy} >  \sqrt[3]{(x+y)(x^{2}-xy+ y^{2})  } \\
 \sqrt{(x+y)^{2}-2xy} >  \sqrt[3]{(x+y)(x+y)^{2}(-3xy)} \\
 \sqrt{(x+y)^{2}-2xy} >  \sqrt[3]{(x+y)^{3}(-3xy)} \\
 x+y - \sqrt{2xy} > x+y -   \sqrt[3]{3xy} \\
 - \sqrt{2xy} > - \sqrt[3]{3xy}
Coś takiego mi wychodzi, ale tak jak mówię nie wiem czy nie dałem gdzieś działa
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 21:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9876
Lokalizacja: Wrocław
Ciała, nie działa. ;)

Możesz mi wytłumaczyć, co stało się tutaj:
\sqrt{(x+y) ^{2} -2xy} > \sqrt[3]{(x+y)(x^{2}-xy+ y^{2}) } (to jest OK)
\sqrt{(x+y)^{2}-2xy} > \sqrt[3]{(x+y)(x+y)^{2}(-3xy)} (to nie wygląda dobrze)

Poza tym łatwiej byłoby ci skorzystać z tego, co napisał Alad, niż się bawić z jakimiś pierwiastkami.
Pomijając błędne przekształcenie algebraiczne (może to efekt nieuwagi), nie widzę, w jaki sposób wybrana przez Ciebie droga miałaby prowadzić do rozwiązania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2016, o 21:40 
Użytkownik

Posty: 12583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podałeś ciag przekształcen, ale żadnego uzasadnienia. O ile pierwsze dwie nierówności zawieraja po prostu przekształcenia algebraiczne, to w trzeciej już dzieje sie jakas abrakadabra

Czwarte to w ogóle kosmos: mam wrażenie, że uważasz za prawdziwe równość \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} i podobną równość dla pierwiastków trzeciego stopnia. To jest horror, za który bez wahania oblewam studentów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 16:50 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
"Przespałem" się z tym zadaniem i widzę teraz że tamta próba rozwiązania to bzdura.
Po podniesieniu do 6 potęgi:
(x ^{2} + y^{2} ) ^{3} > (x ^{3} + y^{3} ) ^{2}
x^{6} +3x ^{4}y^{2}+ 3x^{2} y^{4} +y ^{6}  >  x^{6} +2x ^{3} y^{3}+ y^{6}
3x^{4} y ^{2} +3x ^{2}  y^{4} - 2 x^{3} y ^{3} > 0
I teraz po podzieleniu obustronnie przez x^{2} y ^{2} otrzymuję:
3x ^{2} +3y ^{2} -2xy > 0

I tu mam pytanie. Mogę dojść do postaci:
2x ^{2}  + 2y ^{2}  +x ^{2} +y^{2} -2xy > 0
2x^{2} + 2y^{2} +(x-y)^{2} > 0 i napisać co kończy dowód, ponieważ kwadrat liczby ujemnej jest dodatni, oraz wszystkie pozostałe składniki sumy są dodatnie. Ale czy gdybym się odniósł do równania : 3x ^{2} +3y ^{2} -2xy > 0 i napisał uzasadnienie w stylu:
rozważmy dowolne liczby dodatnie a i b
(a+b)^{2} > 0
a ^{2} -2ab + b^{2} > 0
a^{2} + b^{2} > 2xy
i odwołał się, że skoro zachodzi taka nierówność pomiędzy dowolnymi liczbami dodatnimi a i b, to tak samo tyczy się ona równania : 3x ^{2} +3y ^{2} -2xy > 0 , w którym czynnik 3 przed x^{2} i y^{2} nie ma wpływu na znak równania, to czy to by było zaliczone?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 16:55 
Użytkownik

Posty: 12583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie, bo ta nierówność jest prawdziwa tylko gdy współczynniki przy kwadratowe są większe od jedności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 17:00 
Użytkownik

Posty: 146
Lokalizacja: Wrocław
Jedna nieścisłość nie wiesz czy wyrażenie x-y jest dodatnie czy ujemne. Co nie wpływa na kwadrat tego wyrażenia ale warto zauważyć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 17:22 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Ok, zatem będę się pilnował z takim kombinowaniem.
(x-y)^{2} jest zawsze nieujemne i w tym przypadku dodatnie, dlatego to chyba nie ma wpływu na odpowiedź, jeśli dobrze rozumiem zasady uzasadniania toku rozumowania, ale dzięki za czujność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 21:40 
Użytkownik

Posty: 146
Lokalizacja: Wrocław
Nie, nie ma wpływu na odpowiedź, ale warto wiedzieć. Przypatrz się treści z pierwszego postu, nie podałeś w niej która liczba jest większa, więc może równie dobrze być dodatnia jak i ujemna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2016, o 14:43 
Użytkownik

Posty: 136
Lokalizacja: Polska
A ma wpływ :
a + b  \neq 0, czyli w tym przypadku odpowiedź jaka powinna być ?

-- 14 kwi 2016, o 20:27 --

a4karo napisał(a):
Podałeś ciag przekształcen, ale żadnego uzasadnienia. O ile pierwsze dwie nierówności zawieraja po prostu przekształcenia algebraiczne, to w trzeciej już dzieje sie jakas abrakadabra

Czwarte to w ogóle kosmos: mam wrażenie, że uważasz za prawdziwe równość \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} i podobną równość dla pierwiastków trzeciego stopnia. To jest horror, za który bez wahania oblewam studentów.

Tak to niezwykły mix młędów, jest tu tyle błędów że raczej to nie jest przypadek a brak wiedzy autora z tąd te problemy. Nie wiedziałem że studenci mają aż tak slaby poziom. A za tem w ostatecznym rozrachunku który nam wyszedł:
2x^{2} + 2y^{2} +(x-y)^{2} > 0
Jeśli x i y są dodatnie nierówność jest prawdziwa ale jeśli nie to również bo przecież:
(x-y)^{2} jest zawsze większe od 0, skoro zakładamy, że 2x^{2}>0 i 2y^{2}> 0 I to chyba o tą postać chodzi ?
2x^{2} + 2y^{2} +(x-y)^{2} > 0 nawet jeśli (x-y)^{2} = 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2016, o 09:16 
Użytkownik

Posty: 12583
Lokalizacja: Bydgoszcz
jeste pewien, że (x-y)^2>0 ? A jak weźmiesz x=y=5 ?

Cała dyskusja jest bezprzedmiotowa, bo mówimy o dodatnich liczbach x,y, zatem ich kwadraty sa dodatnie, a kwadrat róznicy jest nieujemny. To gwarantuje dodatniośc całej sumy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2016, o 10:25 
Użytkownik

Posty: 5413
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
jeśli x i y są liczbami dodatnimi, to
y=tx i \sqrt{1+t^2} > \sqrt[3]{1+t^3} itd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2016, o 15:03 
Użytkownik

Posty: 136
Lokalizacja: Polska
aha, no tu widzę że nierówność stosunku dwóch niewiadomych , który jest stały, podniesionych do potęgi i później wy pierwiastkowany wykładnikiem o tej samej wartości co potęga, jest mniejsze jeśli doda się do tego jeden , ale co to daje, bo to raczej jest oczywiste że jeśli: ?
x/y = t = constans to \sqrt[n]{ t^n} =  \sqrt[k]{t^k} ale :
\sqrt[n]{ 1+t^n}  \neq   \sqrt[k]{1+t^k}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 22 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność z pierwiastkami - zadanie 4  Histeria  3
 nierówność z pierwiastkami - zadanie 7  kail12  6
 Nierówność z pierwiastkami - zadanie 8  tonyromo  1
 Nierówność z pierwiastkami - zadanie 10  Orson  2
 Nierówność z pierwiastkami - zadanie 13  dzolka  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl