szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2016, o 16:35 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Czestochowa
Hej, to mój pierwszy post, mam nadzieję że nie ostatni :)

Ile liczb pierwszych spełnia nierówność:

9 \ge (2x-1)^{2}


Moje pytanie brzmi, jak mam uporządkować tą nierówność, czy powinienem najpierw ze wzoru skróconego mnożenia skorzystać,a następnie przenieść to na lewą stronę ze zmienionymi znakami? Albo czy można by było zapisać to w taki sposób:

(2x-1)^{2} \ge 9

Coś mi tam świta o takim przenoszeniu, ale nie jestem pewny czy to w taki sposób można zrobić.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 14 kwi 2016, o 16:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9866
Lokalizacja: Wrocław
Ojej, nie. Gdyby tak można było zrobić, to wszystkie liczby byłyby równe.

Tak, możesz przenieść wszystko na jedną stronę i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia.
Ewentualnie zauważyć, że f(t)=t^{2} jest rosnąca dla t>0 (bo jej wykres dla t>0to prawe "ramię" paraboli o ramionach skierowanych do góry) oraz 9=3^{2}=(2\cdot 2-1)^{2}. Zatem dla p=2 się zgadza i mamy równość, a żadna większa liczba pierwsza nie może spełniać tej nierówności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2016, o 16:44 
Użytkownik

Posty: 706
2p-1 zawsze dodatnie, więc:
3\ge 2p-1
Stąd wynika p\le 2, czyli tylko dwójka spełni tę nierówność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2016, o 17:06 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Czestochowa
Dzięki za szybką odpowiedź, jeszcze chciałbym się dowiedzieć czy kolejność przenoszenia i korzystania ze wzoru skróconego mnożenia jest obojętna? Bo z moich obliczeń wynika że:
9 \ge (2x-1)^{2}
9 \ge 4x^{2}-4x+1
-4x^{2}+4x-1+9 \ge 0

A z inną kolejnością:
9 \ge (2x-1)^{2}
(-2x+1)^{2}+9 \ge 0
4x^{2}+4x+1+9 \ge 0

Z tego co widzę jedynka ma inne znaki, więc jak mniemam kolejność ma znaczenie? Która jest prawidłowa?
Cytuj:
Tak, możesz przenieść wszystko na jedną stronę i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia.

Rozumiem że ta?

Edit.

W tym drugim przykładzie wychodzi mi ujemna delta :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2016, o 17:12 
Użytkownik

Posty: 706
Przejście z pierwszej do drugiej linijki w innej kolejności niepoprawne - powinno być -(2x+1)^{2}+9 \ge 0

-- 14 kwi 2016, o 16:33 --

Co do twojej edycji: zauważ, że -x^2 \ne (-x)^2

I nie, kolejność nie ma znaczenia, jeśli nie popełnisz żadnych błędów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2016, o 17:38 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Czestochowa
Czy mógłbyś ten drugi przykład całkowicie rozpisać? Bo mimo twojej poprawki dalej coś w nim źle obliczam, a w pierwszym przykładzie udało mi się obliczyć delte, miejsca zerowe jak i prawidłową odpowiedź.
-4x^{2}-4x+8 \ge 0
Takie równanie wyszło mi po twojej poprawce, jakkolwiek miejsca zerowe się różnią od tych z przykładu pierwszego, co za tym idzie odpowiedź nie będzie p=2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2016, o 18:28 
Użytkownik

Posty: 706
9\ge (2p-1)^2
9-(2p-1)^2\ge 0
9-(4p^2-4p+1)\ge 0
9-4p^2+4p-1\ge 0
-4p^2+4p+8\ge 0
\Delta = 144  \Rightarrow \sqrt{\Delta}=12

Ale nawet nie potrzebujesz liczyć żadnych delt, bo z rozumowania przedstawionego wyżej wynika rozwiązanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2016, o 16:10 
Użytkownik

Posty: 136
Lokalizacja: Polska
Jeśli mogę,
Przenoszenie na :
(2x-1)^{2} \ge 9
bez zmiany znaków lub zmiany znaku nierówności jest absurdem bo powstaje zupełnie inna nierównośc jeżeli juz to na :
- (2x-1)^{2} \ge - 9
Rozwiązanie żeby w tym przypadku skrócić potęgi a potem z prostrzego zadania szukać rozwiązania dużo szybsze czyli :
(2x-1)^{2} \ge 9 = (2x-1)^{2} \ge 3^2 usuwamy potęgi i mamy prostsze zadanie : 2x-1 \ge 3 i dalej to co rozpisują.
Następne Twoje potknięcie to przy przenoszeniu z minusem czyli:
(-2x+1)^{2}+9 \ge 0...=
4x^{2}+4x+1+9 \ge 0 skorzystałeś tutaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy(suma dwóch argumentów podniesiona do potęgi kwadratowej) tylko że w tym wzorze obie niewiadome są dodatnie :
(a+b)^{2} a ty masz (-2x+1)^{2} czyli (-a+b)^{2} z tąd ten błąd bo wychodzi :
4x^{2}-4x+1 jeżeli już po za tym zauważ że tak jak dec1 napisał:
-x^2 \ne (-x)^2 chociaż:
(-2x+1)^{2}  || -(2x-1)^2
4x^{2} - 4x+1  || -(4p^2-4p+1)
4x^{2} - 4x+1  || -4p^2 + 4p - 1
\Delta = (- 4)^2 - (4  \cdot 4  \cdot 1)  || 4^2 - (4  \cdot (-4)  \cdot (-1) )
\Delta =16 - 16  || 16 - 16
\Delta = 0 || 0
x =  \frac{-(-4)}{2  \cdot 4} || x =  \frac{-4}{2  \cdot -4}
x =  \frac{4}{8} || x =  \frac{-4}{-8}
x =  \frac{2}{4} || x =  \frac{2}{4}
z 9 wyjdzie inaczej bo w jednym przypadku \Delta będzie ujemna a w drugim dodatnia, wyniki będą inne, co do :
-x^2 \neq (-x)^2
-1(x \cdot x)  \neq -x  \cdot -x
-1x \cdot x  \neq -x  \cdot -x
-x \cdot x = -z \cdot x  \cdot x \neq -x  \cdot -x = -z \cdot x  \cdot  -z  \cdot x = -z \cdot -z (x  \cdot  x)...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 działania na potęgach - zadanie 46  uzytkownik71  8
 Przekształcenie aby wyszedł wzór na wysokość  reaperdie  3
 Przekształcenie wyrażenia podpierwiastkowego  laewqq  5
 Działania na wyrazeniach wymiernych - zadanie 2  waga  20
 Działania na wyrażeniach algebraicznych  GromKomando  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl