szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 kwi 2016, o 12:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Wykaż, że jeżeli \alpha, \beta, \gamma są kątami wewnętrznymi trójkąta oraz \sin^{2} \alpha +\sin^{2} \beta < \sin^{2} \gamma, to \cos \gamma < 0.

Wiem, że w takiej sytuacji trójkąt ten będzie rozwartokątny, ale nie wiem, jak to elegancko zapisać.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 20 kwi 2016, o 12:12 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Niech a,b,c będą długościami boków leżących naprzeciwko kątów \alpha,\beta, \gammaodpowiednio. Wtedy z twierdzenia sinusów
\frac{a}{\sin \alpha}= \frac{b}{\sin \beta}= \frac{c}{\sin \gamma}=2R
Zatem \sin^{2}\alpha= \frac{a^{2}}{4R} i tak dalej.
Czyli jeśli \sin^{2} \alpha +\sin^{2} \beta < \sin^{2} \gamma, to a^{2}+b^{2}<c^{2}, a stąd \gamma jest kątem rozwartym.

-- 20 kwi 2016, o 12:15 --

Można, po skorzystaniu z twierdzenia sinusów i założenia, przedstawić to także za pomocą twierdzenia cosinusów:
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma, ale wiemy, że c^{2}>a^{2}+b^{2}, więc...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 kwi 2016, o 12:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Widocznie nie doceniam twierdzenia sinusów!
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 20 kwi 2016, o 12:26 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Sorry, tam powinno być \sin^{2}\alpha= \frac{a^{2}}{4R^{2}} i tak dalej. Oczywiście rozumowania to nie zmienia, bo i tak mnożymy stronami przez mianownik.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność z sinusami  neworder  10
 Nierówność z sinusami - zadanie 2  topos  3
 Wykaż, że następująca nierówność w trójkącie jest  Anonymous  1
 Udowodnij nierówność dla dowolnego trójkąta  brolly  2
 Wykaż nierówność w trójkącie  Norbertus  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl