szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2016, o 20:53 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
a,b \in[0,1]
Pokazać, że ab^2-a^2b \le  \frac{1}{4}.

Ja to zrobiłem udowadniając mocniejszą nierówność ab^2-a^2b \le  \frac{b}{4}, ale może ktoś ma pomysł z jakimś podstawieniem trygonometrycznym (bo przedział to narzuca), albo jeszcze inaczej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2016, o 21:05 
Użytkownik

Posty: 706
Może obliczyć maksimum i wychodzi \frac{1}{4}, więc nierówność jest prawdziwa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2016, o 21:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 434
Lokalizacja: Glasgow
Albo tak:
Jeśli a \ge b, to nierówność jest oczywista.
Zakładamy więc, że: 1 \ge b > a  \ge 0

Z zależności między średnimi:
\sqrt[3]{2a \cdot b \cdot 2\left( b-a\right)}  \le  \frac{2a+b+2b-2a}{3} = b  \le 1

Stąd mamy: 4ab\left( b-a\right)  \le 1, co jest równoważne tezie. :D
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 kwi 2016, o 21:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10559
Lokalizacja: Wrocław
Równoważnie mamy
ab^2-a^2b -\frac{1}{4}\le 0
Jeśli b=0, to teza jest oczywista, a jeśli nie, to jest to zwyczajna nierówność kwadratowa zmiennej a z parametrem b, wierzchołek paraboli mamy w a= \frac{b}{2}, zatem dla b\neq 0 jest ab^2-a^2b -\frac{1}{4} \le  \frac{b^{3}}{4}- \frac{1}{4}, a ponieważ 0 \le b \le 1, to \frac{b^{3}}{4}- \frac{1}{4} \le  \frac{1}{4}- \frac{1}{4}=0, co kończy dowód. Brzydkie, ale to jako jedyne zrozumiałbym w pierwszej klasie liceum (oczywiście są i czternastolatkowie mający dużo większą wiedzę z matematyki, niż ja po całych studiach pierwszego stopnia).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2016, o 15:14 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
Chewbacca97, Też kombinowałem na średnich ale coś nie mogłem wpasć na to.
Dzięki, a myślicie, że trygonometrii tutaj się nie da jakoś wplątać? :P
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód nierówności  Sebastian R.  2
 Dowód nierówności - zadanie 8  mcmcjj  3
 dowód nierówności - zadanie 10  marek12  7
 Dowód nierówności - zadanie 13  maniek-07  5
 Dowód nierówności - zadanie 17  aska3007  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl