szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2016, o 16:10 
Użytkownik

Posty: 56
Mam taki szereg \sum_{n=0}^{\infty}  \frac{1}{(n+2)7^n}
Probowalem z tego zrobic f(x) =  \sum_{n=0}^{\infty}  \frac{ \left( \frac{x}{7}\right) ^n }{n+2} a nastepnie policzyc w x = 1 ale nie wiem jakiej funkcji ten szereg mialby byc rozwinieciem? ln(x+1) z pewnym przesunieciem o 2?
Góra
PostNapisane: 30 kwi 2016, o 16:18 
Użytkownik
Nie.

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{  (x) ^n }{n+2}

Taki szereg bierzesz i tak to przekształć, żeby można bylo rozniczkowac (sensownie) wyraz po wyrazie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2016, o 16:30 
Użytkownik

Posty: 430
Lokalizacja: Wrocław
Ewentualnie weź szereg geometryczny \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}= \frac{1}{1-x}, przeprowadź odpowiednie przekształcenia i go scałkuj. Na końcu podstaw x= \frac{1}{7}

Podpowiedź
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2016, o 16:32 
Użytkownik

Posty: 56
Troche nie rozumiem jak to mam przeksztalcic zbey 'sensownie' rozniczkowac
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 30 kwi 2016, o 16:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10093
Lokalizacja: Wrocław
Dla x\neq 0 mamy \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{n}}{n+2} = \frac{1}{x^{2}} \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{n+2}}{n+2}
Teraz tak: gdy \left| x\right|<1, to możesz ten szereg \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{n+2}}{n+2} różniczkować wyraz po wyrazie, dostaniesz coś prostego, policz całkę oznaczoną ze zwartej postaci tego czegoś prostego w granicach od 0 do x, a następnie podstaw x=\frac 1 7, no i nie zapomnij o tym \frac{1}{x^{2}} wyłączonym przed szereg.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2016, o 16:48 
Użytkownik

Posty: 56
A czy moge zrobic tak

\sum_{n=0}^{\infty} x^n =  \sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1}  + 1

Przyrownac to do \frac{1}{1-x} a nastepnie wziac calke z tej rownosci

x^2 \sum_{n=0}^{\infty}  \frac{x^n}{n+2} + x = -ln(1-x)

i teraz podstawic x = 1/7 ? Jesli moge tak zrobic czy sa jakies np ograniczenia lub musze na cos uwazac po drodze, a jesli nie moge to dlaczego? Czy w pierwszej linii jest juz nieprawdziwa rownosc?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 30 kwi 2016, o 17:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10093
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1} + 1
Ta równość jest OK.

Cytuj:
Przyrownac to do \frac{1}{1-x} a nastepnie wziac calke z tej rownosci

x^2 \sum_{n=0}^{\infty}  \frac{x^n}{n+2} + x = -ln(1-x)

i teraz podstawic x = 1/7 ?

Generalnie zamysł jest jak najbardziej słuszny, ale jest tu kilka technicznych kwestii do poruszenia.
1. Kiedy można całkować szeregi potęgowe wyraz po wyrazie: masz to np. zdaje się tam, gdzie Twoja uczelnia. http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?t ... g_Fouriera
Twierdzenie 5.10.
2. Ta całka musi być oznaczona, inaczej nie ma sensu. Masz zatem równość
\sum_{n=0}^{\infty} t^n = \sum_{n=0}^{\infty} t^{n+1} + 1
i całkujesz ją w granicach od zera do x(tak będzie wygodnie), przy założeniu, że |x|<1 (zajrzyj do tego twierdzenia). To daje istotnie
x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+2} + x = -ln(1-x) dla |x|<1.

-- 30 kwi 2016, o 16:44 --

Ponieważ \left| \frac 1 7\right| <1, to możesz, tak jak to napisałeś, podstawić x=\frac1 7 i po zadaniu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2016, o 18:03 
Użytkownik

Posty: 56
Dziekuje bardzo
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdz sume szeregu - zadanie 2  daro[lo]  2
 Znajdź sumę szeregu - zadanie 9  max123321  3
 Znajdz sume szeregu  setch  1
 znajdź sumę szeregu  tomi140  1
 Znajdź sumę szeregu - zadanie 3  andrzej723  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl