szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2016, o 16:58 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Wrocław
Nie mam pojęcia jak policzyć te sumy. Może ktoś coś?
Treść zadania: "Znajdź sumy szeregów"
\sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{1}{ 2^n } - \frac{1}{ 3^n } \right) ^2 \\[2ex]
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{ 5^n }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2016, o 18:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 568
Lokalizacja: Kraków
Pierwsze - rozwiń nawias i podstaw do wzoru na funkcję tworzącą. Drugie - najpierw zróżniczkuj, uporządkuj i również podstaw do wzoru na funkcję tworzącą. W razie pytań pisz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2016, o 20:32 
Użytkownik

Posty: 12689
Lokalizacja: Bydgoszcz
Yelon napisał(a):
Pierwsze - rozwiń nawias i podstaw do wzoru na funkcję tworzącą.

A nie prościej zsumowac trzy szeregi geometryczne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2016, o 21:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 568
Lokalizacja: Kraków
W sumie prościej, nie wiem czemu odruchowo pomyślałem o funkcjach tworzących :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2016, o 14:06 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Wrocław
A coś więcej odnośnie sumowania tych trzech szeregów geometrycznych? Jak to rozbić itd
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 maja 2016, o 14:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 624
Lokalizacja: Wrocław
\sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{1}{ 2^n } - \frac{1}{ 3^n } \right) ^2=\sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{1}{ 4^n } -\frac{2}{6^n}+ \frac{1}{ 9^n } \right)=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ 4^n } -\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{6^n}+ \sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{1}{ 9^n }
trzy ciągi geometryczne
a_1=\frac{1}{4}\quad q=\frac{1}{4}
a_1=\frac{2}{6}\quad q=\frac{1}{6}
a_1=\frac{1}{9}\quad q=\frac{1}{9}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2016, o 18:44 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki wielkie :) Jeszcze takie pytanko, a co z drugim przykładem?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2016, o 19:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 568
Lokalizacja: Kraków
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}. Teraz różniczkujesz:
\sum_{n=0}^{\infty} nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}. Mnożymy przez x i otrzymujemy:
\sum_{n=0}^{\infty} nx^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}. Teraz podstaw za x=\frac{1}{5}. Z lewej masz to czego szukasz, a z prawej masz wynik.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2016, o 19:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10093
Lokalizacja: Wrocław
A inaczej (nie twierdzę, że lepiej -to w sumie mniej uniwersalne podejście):
\sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{n}{5^{n}}= \sum_{n=1}^{ \infty }  \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{5^{n}}= \sum_{m=1}^{ \infty } \sum_{n=m}^{ \infty } \frac{1}{5^{n}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2016, o 19:17 
Użytkownik

Posty: 12689
Lokalizacja: Bydgoszcz
Drugi przykład to też szeregi geometryczne, tyle że jest ich nieskończenie wiele. Pierwszy zaczyna się od 1/5, drugi od 1/5^2 etc.

Spróbuj a zobaczysz, że to nie jest trudne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciągłość sumy szeregu - zadanie 2  bemekw  3
 Przedział zbieżności szeregów potęgowych  marchewka77  2
 Ksiązka do szeregów  fantek  3
 Obszar zbieżności szeregów  ki226  1
 znajdź sumy cześciowe i zbadaj zbieżność  geol13  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl