szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2016, o 19:34 
Użytkownik

Posty: 30
Witam, mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania:

Znaleźć krzywiznę krzywej określonej wzorem x^2+xy+y^2-3=0 w punkcie A(1,1)

Nie mam pojęcia jak tknąć to zadanie, myślałem nad tym, czy nie sparametryzować tej krzywej, ale tego też zrobić nie umiem :(

Pozdrawiam,
Bad Shadow
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 maja 2016, o 21:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 663
Lokalizacja: Wrocław
y^2+xy+x^2-3=0
\Delta=x^2-4(x^2-3)=12-3x^2
y=\frac{-x+\sqrt{12-3x^2}}{2}
y'=\frac{-1-\frac{3x}{\sqrt{12-3x^2}}}{2}\quad \Rightarrow \quad y'(1)=-1
y''=\frac{-18}{\sqrt{\left( 12-3x^2\right)^3}}\quad \Rightarrow \quad y''(1)=-\frac23
k=\frac{|y''|}{\sqrt{\left(1+(y')^2\right)^3}}=\frac{\frac23}{\sqrt{\left( 1+(-1)^2\right)^3 }}=\frac{\sqrt2}{6}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2016, o 22:04 
Użytkownik

Posty: 4031
x^{2} + xy + y^{2} -3 =0 (0)

k = \frac{|y"(A)|}{(1+ y'(A)^{2})^{\frac{3}{2}}} (k)

Różniczkując obustronnie równanie (0)

2x +y +xy' +2yy' =0.

Stąd

y'(x,y) = \frac{-(y+2x)}{x+2y} (1)

Różniczkując (1)

y"(x,y) = \frac{-\left[ (y'+2)(x+2y)-(y+2x)(1+2y')\right] }{(x+2y)^{2}}

y"(x,y) = \frac{3(xy' -y)}{(x+2y)^{2}}

y'(A)= y'(1,1)= -1 (2)

y"(A) = y"(1,1) = \frac{4}{3} (3)

Po podstawieniu (2), (3) do (k)

k = \frac{|\frac{4}{3}|}{(1+(-1)^{2})^{\frac{3}{2}}}= \frac{2^{2}}{3\cdot 2^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{3}.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 maja 2016, o 15:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 663
Lokalizacja: Wrocław
janusz47 napisał(a):
[tex]y"(x,y) = \frac{3(xy' -y)}{(x+2y)^{2}}

y'(A)= y'(1,1)= -1 (2)

y"(A) = y"(1,1) = \frac{4}{3} (3)

y''(1,1)=\frac{3\left(1\cdot(-1)-1\right)}{\left( 1+2\cdot1\right) ^2}=-\frac{2}{3}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 kzrywizna i okrąg ściśle styczny do krzywej  Minnie_  0
 Długość krzywej i łuku okręu / Gra pościgu  Dolcze_27  0
 Styczna do krzywej. (kwadratowej, sześciennej i wyżej)  RippeR37  2
 równanie stycznej do krzywej - zadanie 13  matematix  2
 Równanie krzywej na której leżą środki okręgów.  Auron91  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl