szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 maja 2016, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Polska
Witam, mam problem z jedną całką. Niech x \in \mathbb{R}^n, B- kula jednostkowa w \mathbb{R}^n, r>0.
Mam całkę
\int_{B}^{}  f(rx)dx

Jak będzie ona wyglądała po dokonaniu zamiany zmiennych: y=rx? Jak skorzystać z twierdzenia o zamianie zmiennych? Bo już się pogubiłem z tym wszystkim, jak będzie wyglądał jakobian przekształcenia a jak zbiór po którym będziemy całkować, a jak samo przekształcenie? Z góry dzięki za pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2016, o 13:11 
Użytkownik

Posty: 939
Formalnie ładnie można zapisać to tak, że dokonujemy podstawienia:
\begin{cases} x_1=\frac{1}{r}\overline{x_1}\\  x_2=\frac{1}{r}\overline{x_2} \\ \vdots \\  x_n=\frac{1}{r}\overline{x_n} \end{cases}

Jakobian ma postać
\begin{vmatrix}  \frac{ \partial x_1}{\overline{x_1}} & \frac{ \partial x_1}{\overline{x_2}}& \dots &  \frac{ \partial x_1}{\overline{x_n}}\\  \frac{ \partial x_2}{\overline{x_1}}&  \frac{ \partial x_2}{\overline{x_2}} & \dots &  \frac{ \partial x_2}{\overline{x_n}}\\ \vdots &\vdots  &\vdots  &\vdots  \\   \frac{ \partial x_n}{\overline{x_1}} & \frac{ \partial x_n}{\overline{x_2}}& \dots &  \frac{ \partial x_n}{\overline{x_n}}\end{vmatrix}=\frac{1}{r^n},
gdyż na przekątnej mamy zawsze \frac{1}{r} w pozostałych miejscach zero.

Mamy stary obszar zadany następująco:
D:  \begin{cases}\left|  x_1\right| \leq 1 \\\left|  x_2 \right| \leq 1 \\ \vdots \\ \\ \left| x_n\right|  \leq 1\end{cases}
W nowych zmiennych mamy obszar:
\Delta:  \begin{cases}\left|  \overline{ x_1}\right|  \le r \\ \left| \overline{ x_2} \right| \le r \\ \vdots \\\left|  \overline{ x_n} \right| \le r\end{cases}

Zatem całka po zamianie zmiennych przyjmuje postać:
\int\limits_{\Delta}\frac{1}{r^n}f(\overline{x})\text{d}\overline{x}

Mam nadzieję, że dobrze załapałem, o co autorowi chodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2016, o 14:36 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Polska
OK, stokrotne dzięki (tam powinny chyba być moduły jeszcze, ale to szczegół) czyli mamy, że \triangle =rB= \{ x=(x_1,x_2,...,x_n): |x_i| \le r \}.
A co w przypadku gdy zamiast kuli jednostkowej n wymiarowej B weźmiemy jej brzeg \partial B, tzn sferę. Jak wtedy będzie wyglądał jakobian przejścia, a jak całka po podstawieniu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2016, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 939
112358 napisał(a):
OK, stokrotne dzięki (tam powinny chyba być moduły jeszcze, ale to szczegół) czyli mamy, że \triangle =rB= \{ x=(x_1,x_2,...,x_n): |x_i| \le r \}

Tak, ma być moduł. Poprawiłem.

112358 napisał(a):
A co w przypadku gdy zamiast kuli jednostkowej n wymiarowej B weźmiemy jej brzeg \partial B, tzn sferę. Jak wtedy będzie wyglądał jakobian przejścia, a jak całka po podstawieniu?

Moim zdaniem nic się nie zmieni. Jakobian taki sam, całka taka sama. Zmieni się jedynie obszar całkowania. Zarówno przy obszarze D, jak i |\Delta damy równości (zamiast nierówności).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2016, o 19:59 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Polska
Czy na pewno jakobian sie nie zmieni?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2016, o 14:08 
Użytkownik

Posty: 939
No.... a dlaczego miałby się zmienić, skoro robimy dokładnie to samo podstawienie? Jakobian zależy tylko od podstawienia, nie od obszaru całkowania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2016, o 15:30 
Gość Specjalny

Posty: 1329
Lokalizacja: Suchedniów
Jeżeli chcesz całkować względem miary Lebesgue'a na \mathbf{R}^k po brzegu k-wymiarowej kuli, to podstawianie czegokolwiek zmienia niewiele - całkujesz po zbiorze miary zero. Chyba, że masz na myśli jakąś całkę z formy różniczkowej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2016, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Polska
A co wtedy sue zmieni dla formy rozniczkowej?

-- 4 maja 2016, o 20:07 --

A co wtedy sie zmieni dla formy rozniczkowej?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Twierdzenie o zamianie zmiennych - zadanie 2  Downonmyluck  2
 twierdzenie greena - zadanie 9  pacer  1
 Twierdzenie Greena - zadanie 3  paicey  5
 Twierdzenie greena problem  lolek201  8
 Przykład na twierdzenie Stokesa  PLrc  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl