szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2016, o 23:27 
Użytkownik

Posty: 138
Lokalizacja: Warsaw
Muszę odpowiedzieć na pytanie czy suma danego szeregu jest ciągła na zbiorze (0, \pi )

\sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{\sin(nx)}{nx}  \cdot \cos\left( \frac{x}{n}\right)

Rozumiem, że musze udowodnić zbieżność jednostajną tego szeregu na powyższym przedziale, ale nie umiem znaleźć szacowania
myślem może nad skorzystaniem z tego, że \left| \sin(x)\right|  < \left| x\right|
czyli


\frac{\sin(nx)}{nx}  \cdot \cos\left( \frac{x}{n}\right) < \left| \frac{\sin(nx)}{nx}\right|   \cdot \cos\left( \frac{x}{n}\right) < \frac{|nx|}{|nx|}  \cdot \cos\left( \frac{x}{n}\right) = \cos\left( \frac{x}{n}\right)

ale ten szereg z samym tym cosinusem to nie spełnia warunku koniecznego, jakaś podpowiedź?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2016, o 09:02 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7481
Lokalizacja: Wrocław
Ten szereg jest subtelnie zbieżny i dlatego potrzebne są subtelne metody badania zbieżności.

Po pierwsze, nie jest on jednostajnie zbieżny na przedziale (0, \pi). Dla każdego \delta > 0 jest on jednak jednostajnie zbieżny na przedziale [ \delta, \pi - \delta ] (tzn. jest niemal jednostajnie zbieżny na (0, \pi)), a to wystarczy, żeby suma była ciągła.

1. Dla każdego x \in [ \delta, \pi - \delta ] ciąg \cos \frac{x}{n} rośnie do 1, więc na mocy kryterium Abela jeśli szereg

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{nx}

jest jednostajnie zbieżny na [ \delta, \pi - \delta ], to szereg

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{nx} \cdot \cos \frac{x}{n}

też jest jednostajnie zbieżny na [ \delta, \pi - \delta ].


2. Jednostajną zbieżność szeregu

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{nx}

na przedziale [ \delta, \pi - \delta ] należy udowodnić z kryterium Dirichleta, wykazując iż:

\bullet Ciąg \frac{1}{nx} jest malejący i jednostajnie zbieżny do zera na [ \delta, \pi - \delta ]

\bullet Szereg \sum_{n=1}^{\infty} \sin nx ma jednostajnie ograniczone sumy częściowe, tzn. istnieje takie M > 0, że dla dowolnych x \in [ \delta, \pi - \delta ] oraz N \in \NN jest

\left| \sum_{n=1}^N \sin nx \right| \le M.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciągłość sumy szeregu - zadanie 2  bemekw  3
 Ciągłość sumy szeregu  Mlodsza  1
 ciągłość sumy szeregu - zadanie 3  salemalekum  5
 zbadać zbieżność pewnego szeregu - sprawdzcie czy dobrze  bjera  1
 Promień zbieżności szeregu zespolonego  bojo1989  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl