szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 maja 2016, o 22:38 
Użytkownik

Posty: 153
Lokalizacja: Warszawa
wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie \frac{x ^{2}-2mx+m+6 }{x-1}=0 ma dwa rozwiązanie x _{1}, x _{2} spełniające warunek \frac{x _{1}+x _{2}  }{x _{1}x _{2}  }  \le m


Odpowiedź ma być m \in (-6,-4\rangle  \cup (3,7) \cup (7,+ \infty )
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2016, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 2253
Lokalizacja: Warszawa
Mianownik nie może się zerować, a więc x-1 \neq 0

Rozpatrujemy sam licznik, czyli trójmian kwadratowy z parametrem.

Ma pierwiastki, a więc ma być \Delta  \ge 0

Jeśli ma być spełniony warunek \frac{x _{1}+x _{2} }{x _{1}x _{2} } \le m, to wygodnie będzie zastosować wzory Viete'a.

:)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 06:36 
Użytkownik

Posty: 153
Lokalizacja: Warszawa
no właśnie tak robiłam i wyszła mi z delty (- \infty , -2)  \cup (3,+ \infty )
a z tego warunku -m(m+6)(m+4)  \le 0 i nie mam nigdzie tej 7
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 11:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4415
Lokalizacja: Łódź
Licznik musi mieć dwa rozwiązania należące do dziedziny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 12:20 
Użytkownik

Posty: 2253
Lokalizacja: Warszawa
Policzmy:

\Delta=4m^2-4(m+6) \ge 0 \  \Leftrightarrow \ m^2-m -6 \ge 0 \  \Rightarrow \ m \in \left( - \infty, \ -2 \right \rangle  \cup \left\langle3, \ \infty  \right)

Teraz wzory Viete'a:

x_1+x_2=- \frac{b}{a}= 2m

x_1x_2= \frac{c}{a}=m+6

I nasz warunek:

\frac{x _{1}+x _{2} }{x _{1}x _{2} } \le m

\frac{2m}{m+6} \le m

m \neq -6

Rozwiązanie tej nierówności rzeczywiście prowadzi do wyniku

-m(m+6)(m+4) \le 0

Z wężyka wynika, że

m \in \left\langle -6, \ -4\right\rangle \cup \left\langle 0, \ \infty  \right)

pozbierajmy teraz wszystko do kupy:

m \in \left( - \infty, \ -2 \right \rangle  \cup \left\langle3, \ \infty  \right) \  \wedge \ m \neq -6 \  \wedge m \in \left\langle -6, \ -4\right\rangle \cup \left\langle 0, \ \infty  \right) \   \Leftrightarrow \\  \Leftrightarrow  \ m \in \left( -6, \ -4\right\rangle \cup \left\langle3, \ \infty  \right)

Rzeczywiście, nie ma nigdzie siódemki. Chyba że się gdzieś rąbnąłem. :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 15:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4415
Lokalizacja: Łódź
Pierwiastkiem licznika nie może być x=1 (bo nie należy do dziedziny), czyli

x \neq 1 \Rightarrow 1-2m+m+6 \neq 0 \Rightarrow m \neq 7
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 21:49 
Użytkownik

Posty: 2253
Lokalizacja: Warszawa
Dzięki, Kropko. Oczywiście wyłączyłem x=1 z dziedziny, ale potem, niestety, nie wykorzystałem tego. Zresztą, ponieważ dla x=1 wyjściowa funkcja wymierna nie istnieje (asymptota pionowa), wstawianie tej jedynki do licznika nie ma sensu, bo mianownik się zeruje. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 funkcja wymierna  Marzenek  7
 funkcja wymierna - zadanie 2  dwdmp  7
 funkcja wymierna - zadanie 3  dwdmp  3
 funkcja wymierna - zadanie 4  RAFAELLO14  2
 funkcja wymierna - zadanie 6  Sylwek777  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl