szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 19:46 
Użytkownik

Posty: 107
Lokalizacja: kraków
Wykaż, że \sqrt{6-4 \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \sqrt{2} } =4

Za 4 wstawiam x i podnoszę obie strony do kwadratu.

Wychodzi mi x^{2}=16.

\left| x\right|=4

x=4  \vee x=-4

Robiąc to zadanie "na szybko", wychodzi x=4 i sprawa załatwiona. Ale nie, są dwa wyniki. Co zatem robić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 19:48 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3267
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Jest to suma pierwiasków kwadratowych, więc lewa strona musi być nieujemna. Więc nasz x \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 19:59 
Administrator

Posty: 20812
Lokalizacja: Wrocław
kmmc napisał(a):
Za 4 wstawiam x i podnoszę obie strony do kwadratu.

Podnoszenie do kwadratu obu stron równania nie jest przejściem równoważnym i może generować fałszywe pierwiastki.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 20:13 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3267
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Jan Kraszewski, ale jeżeli weźmiemy pod uwagę, że lewa strona jest nieujemna, czyli x \ge 0 podnoszenie do kwadratu już jest przejściem równoważnym, jako podnoszenie stronami dwóch liczb nieujemnych. Prawda?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 5 maja 2016, o 21:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10243
Lokalizacja: Wrocław
Zauważ, że ta liczba jest dodatnia, jako że jest sumą pierwiastków arytmetycznych stopnia 2, które z definicji są nieujemne.

EDIT: dokładniej to nieujemna, bo zawsze możemy mieć \sqrt{0}+\sqrt{0}, ale że jest dodatnia, to też dość oczywiste.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 21:16 
Administrator

Posty: 20812
Lokalizacja: Wrocław
Kacperdev napisał(a):
Jan Kraszewski, ale jeżeli weźmiemy pod uwagę, że lewa strona jest nieujemna, czyli x \ge 0 podnoszenie do kwadratu już jest przejściem równoważnym, jako podnoszenie stronami dwóch liczb nieujemnych. Prawda?

No ale tu robisz dodatkowe założenie. Wtedy to jest przejście równoważne. Tym niemniej kmmc żadnych założeń nie robił i po prostu podniósł do kwadratu.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 21:28 
Użytkownik

Posty: 706
Łatwiej jest zauważyć, że:
6-4\sqrt{2}=(2-\sqrt{2})^2
6+4\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})^2
A dla a\ge 0 mamy:
\sqrt{a^2}=a
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 21:50 
Użytkownik

Posty: 107
Lokalizacja: kraków
Jan Kraszewski napisał(a):
kmmc napisał(a):
Za 4 wstawiam x i podnoszę obie strony do kwadratu.

Podnoszenie do kwadratu obu stron równania nie jest przejściem równoważnym i może generować fałszywe pierwiastki.

JK

Czyli trzeba zastosować tzw. metodę analizy starożytnych i sprawdzić, które spełniają równanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 21:54 
Użytkownik

Posty: 22445
Lokalizacja: piaski
Tak.

A swoją drogą to trochę dziwne (w tym przykładzie) wstawianie niewiadomej zamiast 4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 21:59 
Użytkownik

Posty: 706
Tak w ogóle, to rozumowanie nie jest przypadkiem wnioskowaniem z tezy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 22:11 
Administrator

Posty: 20812
Lokalizacja: Wrocław
A dlaczego? W którym miejscu używasz tezy?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 22:17 
Użytkownik

Posty: 706
Zadanie: oblicz \sqrt{6-4 \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \sqrt{2} }
Teza: \sqrt{6-4 \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \sqrt{2} } =4

x=4

\sqrt{6-x \sqrt{2} } + \sqrt{6+x \sqrt{2} }  \,{{\color{red} =x}

Bez tego nie ma żadnego równania. A równanie, jak widać, zakłada tezę.

Chyba, że się mylę. Już późno trochę :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 22:17 
Użytkownik

Posty: 1998
Lokalizacja: Warszawa
kmmc, nie wstawiaj żadnych iksów - to niepotrzebne. Popatrzmy:

\sqrt{6-4 \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \sqrt{2} } =4

Podnieśmy obustronnie do kwadratu

\left( \sqrt{6-4 \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \sqrt{2} }\right)^2  =16

6-4 \sqrt{2}+2\sqrt{6-4 \sqrt{2} } \cdot \sqrt{6+4 \sqrt{2}}+6+4 \sqrt{2}=16

6+2 \sqrt{4} +6=16

:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2016, o 23:30 
Administrator

Posty: 20812
Lokalizacja: Wrocław
dec1 napisał(a):
Zadanie: oblicz \sqrt{6-4 \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \sqrt{2} }
Teza: \sqrt{6-4 \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \sqrt{2} } =4

x=4

\sqrt{6-x \sqrt{2} } + \sqrt{6+x \sqrt{2} }  \,{{\color{red} =x}

Bez tego nie ma żadnego równania. A równanie, jak widać, zakłada tezę.

Chyba, że się mylę. Już późno trochę :)

Mylisz się. Zadanie brzmiało inaczej:
kmmc napisał(a):
Wykaż, że \sqrt{6-4 \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \sqrt{2} } =4

Za 4 wstawiam x

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2016, o 18:02 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Polska
dec1 napisał(a):
Łatwiej jest zauważyć, że:
6-4\sqrt{2}=(2-\sqrt{2})^2
6+4\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})^2
A dla a\ge 0 mamy:
\sqrt{a^2}=a

\sqrt{(2-\sqrt{2})^2}  +  \sqrt{(2+\sqrt{2})^2} = 4 Wykaż.
2-\sqrt{2} i 2+\sqrt{2} zawsze > 0
(2-\sqrt{2}) + (2+\sqrt{2}) = 4
2-\sqrt{2} + 2+\sqrt{2} = 4
2 + 2 = 4 Wykazano ?

Właściwie to sa tu dwa wykazania bo w międzyczasie trzeba wykazać że :
2-\sqrt{2} i 2+\sqrt{2} > 0...
Premislav napisał(a):
Zauważ, że ta liczba jest dodatnia, jako że jest sumą pierwiastków arytmetycznych stopnia 2, które z definicji są nieujemne.

EDIT: dokładniej to nieujemna, bo zawsze możemy mieć \sqrt{0}+\sqrt{0}, ale że jest dodatnia, to też dość oczywiste.

Lub po prostu:
2-\sqrt{2} > 0  \Leftrightarrow 2 > \sqrt{2} i 2+\sqrt{2} > 0  \Leftrightarrow 2 > -\sqrt{2}

Natomiast wstawianie iksów wprowadza jakąś zmienną z którą trzeba inaczej postępować.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż, że prawdziwa jest równość (z wartością bezwzględną)  krystiann  3
 liczba zad  Ankaaa993  1
 wykaż, że liczba jest podzielna przez 99  kuba1492  2
 Wyznacz n dla którego liczba jest całkowita..  Ankaz  1
 liczba wymierna - zadanie 5  organistka  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl