szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2016, o 11:55 
Użytkownik

Posty: 138
Lokalizacja: Warsaw
Mam taki szereg \sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{1}{n(1+(x-n)^2)}

nie wiem jak mam go oszacować, bo jego wyraz wyraźnie maleje wraz ze wzrostem x, a wiem, że x nie moge szacować przez n (tzn podstawić n pod x)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2016, o 19:13 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7434
Lokalizacja: Wrocław
Wskazówka: dla każdego x

\sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{ n \big( 1 + (x-n)^2 \big) } \le \frac{1}{N} \cdot \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{1+(x-n)^2}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2016, o 02:18 
Użytkownik

Posty: 138
Lokalizacja: Warsaw
Czym jest to N i i czemu sumujemy szeregi od n=N?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2016, o 09:09 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7434
Lokalizacja: Wrocław
Warunek na jednostajną zbieżność tego szeregu funkcyjnego wygląda tak:

(\forall \varepsilon>0)(\exists N_0 \in \NN)(\forall N \ge N_0)(\forall x \in \RR) \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{ n \big( 1 + (x-n)^2 \big) } < \varepsilon

lub inaczej

\lim_{N \to \infty} \sup_{x \in \RR} \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{ n \big( 1 + (x-n)^2 \big) } = 0.

Podane przeze mnie oszacowanie jest wskazówką, jak ten warunek udowodnić.

A przy okazji, na jakim zbiorze trzeba pokazać zbieżność jednostajną? Wyżej założyłem, że na \RR, ale może w poleceniu jest mniejszy zbiór.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 maja 2016, o 00:14 
Użytkownik

Posty: 138
Lokalizacja: Warsaw
Ale my tu próbujemy udowodnić, że on jest zbieżny jednostajnie czy właśnie, że nie jest?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 maja 2016, o 01:05 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7434
Lokalizacja: Wrocław
Jest.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżnośc jednostajna - zadanie 31  Agniezcka  1
 Zbiezność jednostajna - zadanie 25  Agniezcka  1
 zbieżność jednostajna - zadanie 47  waliant  1
 Zbieżność jednostajna - zadanie 62  teusiek  1
 Zbieżność jednostajna - zadanie 61  claudet20  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl