szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2016, o 15:35 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa
Witam! Mam takie równanie:
a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=3^{n}
a_{0}=a_{1}=1
Potrzebuję rozwiązanie wyłącznie metodą funkcji tworzących. Już przez 3 dni próbuję rozwiązać te równanie. Szukałem podobne przykłady, ale nie mogę znaleźć co mam robić z tym 3^{n}. I mam problem z indeksami {n+2} i {n+1}, bo wszędzie widzę przykłady z {n-2} i {n-1}. Prosiłbym o rozwiązaniu z szczegółami. Z góry dziękuję.
P.S. Przepraszam za błędy gramatyczne (polski nie jest moim językiem ojczystym).
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2016, o 16:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12435
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
\sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+2}x^{n}-2 \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+1}x^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty } 3^{n}x^{n}\\
 \frac{1}{x^{2}} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}- \frac{2}{x} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}+ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty }(3x)^{n}
Teraz zauważ, że \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-a_{1}x-a_{0} oraz \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-a_{0}
Zatem innymi słowy mamy
\left(  \frac{1}{x^{2}}- \frac{2}{x}+1  \right) \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}= \frac{a_{1}}{x}+ \frac{a_{0}}{x^{2}}- \frac{2a_{0}}{x}+ \frac{1}{1-3x}
- skorzystałem już po prawej ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego i przeniosłem te śmieci na drugą stronę.
Wstawiamy a_{0}=a_{1}=1 i dzielimy stronami przez \frac{1}{x^{2}}- \frac{2}{x}+1, co daje
\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}= \frac{ \frac{1}{x^{2}}- \frac{1}{x}+ \frac{1}{1-3x}   }{\frac{1}{x^{2}}- \frac{2}{x}+1}= \frac{1-x+ \frac{x^{2}}{1-3x} }{(x-1)^{2}}= \frac{(1-x)(1-3x)+x^{2}}{(x-1)^{2}(1-3x)}
Rozłóż to na ułamki proste i rozwiń w szeregi, korzystając ze wzorów na sumę szeregu geometrycznego i pochodną szeregu geometrycznego \sum_{}^{} x^{n}, nie che mi się już tego klepać (no układ równań tworzysz, to jest materiał z pierwszej/ewentualnie drugiej klasy liceum, tylko że mądrzej wygląda, ale to pozory).
Wynik tego rozkładu:
\frac{(1-x)(1-3x)+x^{2}}{(x-1)^{2}(1-3x)}= \frac{1}{1-x}+ \frac{-\frac 1 2x-\frac 1 2}{(x-1)^{2}}+ \frac{\frac 1 2}{1-3x}

BTW dobrze, że napisałeś tę uwagę, bo już szykowałem gramatyczną erratę. :twisted:

-- 10 maja 2016, o 15:50 --

Aha, wzorek z tego wychodzi
a_{n}= \frac{1}{2}-n+ \frac{1}{2}\cdot 3^{n}
- po rozwinięciu w szereki (:D) po prostu otrzymujesz, że a_{n} to jest to, co stoi przy x^{n}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2016, o 17:59 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa
Zatem innymi słowy mamy
\left(  \frac{1}{x^{2}}- \frac{2}{x}+1  \right) \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}= \frac{a_{1}}{x}+ \frac{a_{0}}{x^{2}}- \frac{2a_{0}}{x}+ \frac{1}{1-3x}
- skorzystałem już po prawej ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego i przeniosłem te śmieci na drugą stronę.
---
nie widzę tutaj wzoru na sumę szeregu geometrycznego :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2016, o 18:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12435
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Było
\frac{1}{x^{2}} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}- \frac{2}{x} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}+ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}=\\=\left( \frac{1}{x^{2}}- \frac{2}{x}+1 \right) \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}- \frac{a_{1}}{x} - \frac{a_{0}}{x^{2}} + \frac{2a_{0}}{x}= \sum_{n=0}^{ \infty }  (3x)^{n}
no i skorzystałem ze wspomnianego wzoru:
\sum_{n=0}^{ \infty }  (3x)^{n}= \frac{1}{1-3x}
a następnie przeniosłem na drugą stronę
- \frac{a_{1}}{x} - \frac{a_{0}}{x^{2}} + \frac{2a_{0}}{x},
zmieniając oczywiście znaki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2016, o 18:20 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa
Z pierwszej sumy zostało -a_{1}x-a_{0}}, z drugiej -a_{0}.
Nie mogę zrozumieć skąd to się wzięło
- \frac{a_{1}}{x} - \frac{a_{0}}{x^{2}} + \frac{2a_{0}}{x}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2016, o 18:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12435
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Pierwsza linijka:
\sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+2}x^{n}-2 \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+1}x^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty } 3^{n}x^{n}
Druga linijka:
\frac{1}{x^{2}} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}- \frac{2}{x} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}+ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty }(3x)^{n}

A tu widzisz co się stało? Chcę wydobyć "w czystej postaci" \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n} z tych wszystkich szeregów potęgowych, zatem żeby indeksy zgadzały się z wykładnikami iksów, dokonuję przekształceń w stylu
x^{n}= \frac{1}{x^{2}}  \cdot x^{n+2} przy a_{n+2}. Jeżeli zrozumiesz to i zrozumiesz, czemu
\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-a_{1}x-a_{0}
oraz czemu \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-a_{0} (po prostu jeśli indeksy są przesunięte o dwa do przodu w stosunku do \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n}x^{n}, to brakuje dwóch początkowych wyrazów i analogicznie brakuje jednego wyrazu w tym \sum_{}^{} a_{n+1}x^{n+1}), no to z takimi rzeczami, jak szkolne działania w nawiasach powinieneś sobie poradzić.
Tłumaczenie na poziomie podstawówki: skoro b=c-d, to a\cdot b =a\cdot c-a\cdot d, a nie a\cdot c-d. Tutaj po prostu
a= \frac{1}{x^{2}},b= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}, c= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}, , d=a_{1}x+a_{0}. Dalej podobnie z
- 2\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n}= {\red - \frac{2}{x} } \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+1}x^{n+1}=- \frac{2}{x}\left( -a_{0}+ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n} \right)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 maja 2016, o 18:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4415
Lokalizacja: Łódź
Premislav napisał(a):

Aha, wzorek z tego wychodzi
a_{n}= \frac{1}{2}-n+ \frac{1}{2}\cdot 3^{n}

Nie zgadza się ze wzorem rekurencyjnym. Sprawdzam dla a _{2}
a_{0+2}-2a_{0+1}+a_{0}=3^{0}\\
a _{2}-2+1=1 \Rightarrow a _{2}=2

Według Twojego wzoru:
a _{2}= \frac{1}{2} - 2+ \frac{1}{2}  \cdot 3 ^{2}=- \frac{3}{2} + \frac{9}{2} =3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2016, o 18:54 
Użytkownik

Posty: 718
Powinno być a_n=\frac{3}{4}-\frac{2n}{4}+\frac{3^n}{4},

nie a_n=\frac{1}{2}-\frac{2n}{2}+\frac{3^n}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2016, o 19:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12435
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
No tak, nie umiem rozwiązywać układów równań (a dokładniej to dzielić przez dwa).

Powinno być

\frac{(1-x)(1-3x)+x^{2}}{(x-1)^{2}(1-3x)}= \frac{1}{1-x}+ \frac{-\frac 1 4x-\frac 1 4}{(x-1)^{2}}+ \frac{\frac 1 4}{1-3x}=\\= \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } -\frac 1 4 n x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } -\frac 1 4(n+1)x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{1}{4}3^{n}x^{n}
i faktycznie z tego wychodzi
a_{n}= \frac{3}{4}- \frac{n}{2} + \frac{3^{n}}{4}

Dziękuję za korektę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiazywanie rownania z uzyciem wzoru Newtona  birdy1986  7
 zamiana ciagu rekurencyjnego na ogolny  eoor  1
 Mały problem z funkcją tworzącą  kogutto  1
 m dyskretna - Ile jest całkowitych rozwiązań równania .  torbol  1
 Kombinatoryka (rozwiąż równania)  allexx  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl