szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 maja 2016, o 23:36 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: krk
Witam, moje pytanie dotyczy wzoru Eulera \zeta(2n)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{2n}}=\dfrac{(-1)^{n-1} 2^{2n-1} B_{2n}}{(2n)!} \pi^{2n}. I teraz mam pokazać jak szybko rosną liczby B_{2n}. Wiem, że bardzo szybko :) Tylko teraz jak to pokazać ?
Jakieś pomysły ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2016, o 00:48 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7434
Lokalizacja: Wrocław
Zauważ, że

1 = \frac{1}{1^{2n}} \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n}} \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \le 2,

zatem

B_{2n} \sim (-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n)!}{(2\pi)^{2n}}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 maja 2016, o 12:52 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: krk
Nie za bardzo rozumiem jak uzyskałeś ostatnią linijkę.
Poszukałam trochę w internecie i znalazłam, że B_{2n} \sim (-1)^{n-1} 4 \sqrt{\pi n} ( \frac{n}{\pi e})^{2n}
Wydaje mi się, że trzeba skorzystać ze wzoru Stirlinga n! \sim n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}
Tylko co dalej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2016, o 23:08 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7434
Lokalizacja: Wrocław
Wiadomo, że

\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n}} = 1,

a skoro

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n}} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{2^{2n-1} \cdot B_{2n}}{(2n)!} \cdot \pi^{2n} = \frac{B_{2n}}{ (-1)^{n-1} \cdot \frac{ 2 \cdot (2n)! }{ (2 \pi)^{2n} } },

to

\lim_{n \to \infty} \frac{B_{2n}}{ (-1)^{n-1} \cdot \frac{ 2 \cdot (2n)! }{ (2 \pi)^{2n} } } = 1

czyli

B_{2n} \sim (-1)^{n-1} \cdot \frac{ 2 \cdot (2n)! }{ (2 \pi)^{2n} }.

Jeśli wolisz taką postać, jaką znalazłaś w internecie, to wystarczy ze wzoru Stirlinga rozpisać:

(2n)! \sim \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n} \cdot \sqrt{2 \pi \cdot 2 n}

i podstawić.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 maja 2016, o 00:03 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: krk
Bardzo dziękuję za rozpisanie :) O to właśnie chodziło :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja kwadratowa i szereg Fouriera  Anonymous  1
 zbieżność do liczby e  Herurgaldir  3
 obszar zbieżności i,funkcja graniczna, zbiezność jednost  pasjonat  0
 funkcja graniczna  agulka1  0
 wartość liczby Pi - MacLaurin  Wojteks  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl