szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2016, o 10:55 
Użytkownik

Posty: 155
Lokalizacja: warszawa
Cześć!
Przeprowadzam dowód polegający na tym, że suma funkcji wypukłych jest funkcją wypukłą. Mam problem z pewnym przejściem:

niech dla m \ge 2 spełniona będzie nierówność:

(f _{1}+...f _{m}) (\lambda x+(1- \lambda )y)  \le \lambda( f _{1}(x)+f _{m}(x)) + (1- \lambda(f _{1}(y)+...f _{m}  (y)).

pokażemy, że spełniona jest także dla m+1:

(f _{1}+...f _{m}+f _{m+1} ) (\lambda x+(1- \lambda )y)=f _{1}  (\lambda x+(1- \lambda )y) + 
 \sum_{i=2}^{m+1} (f _{i}) (\lambda x+(1- \lambda )y)=
f _{1}  (\lambda x+(1- \lambda )y) +\sum_{j=1}^{m} (f _{j}) (\lambda x+(1- \lambda )y) \le 
\lambda f _{1}(x) +(1-\lambda)f _{1}(y) +\left[ \lambda f _{1}(x) +(1-\lambda)f _{1}(y) + ... + \lambda f _{m}(x) +(1-\lambda)f _{m}(y)\right].

Pytanie - co dalej, skoro dubluje mi się funkcja f _{1}?
Proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2016, o 11:12 
Użytkownik

Posty: 12932
Aha, czyli twierdzisz, że dla dowolnych funkcji wypukłych f_{1},...f_{m+1} mamy zawsze
\sum_{i=2}^{m+1} f_{i}(\lambda x+(1-\lambda)y)= \sum_{i=1}^{m}f_{i}(\lambda x+(1-\lambda)y)?
Coś "chyba" nie tak. No popatrz, przecież zmieniłeś indeksy w tej sumie \sum_{i=2}^{m+1} f_{i} i wystąpiła po prostu kolizja oznaczeń. Trudniej byłoby się pomylić, gdybyś "wyróżnił" f_{m+1} zamiast f_{1} (choć to w sumie to samo).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2016, o 11:56 
Użytkownik

Posty: 155
Lokalizacja: warszawa
W takim razie jak to ruszyć, aby w tym ostatnim kroku wykorzystać założenie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2016, o 12:02 
Użytkownik

Posty: 12932
Cytuj:
(f _{1}+...f _{m}+f _{m+1} ) (\lambda x+(1- \lambda )y)=f _{1} (\lambda x+(1- \lambda )y) + \sum_{i=2}^{m+1} (f _{i}) (\lambda x+(1- \lambda )y)

Do tego miejsca było OK. Teraz skorzystaj z założenia indukcyjnego:
\sum_{i=2}^{m+1} (f _{i}) (\lambda x+(1- \lambda )y) jest sumą m funkcji wypukłych, czyli z założenia indukcyjnego - funkcją wypukłą. No i
f_{1} jest wypukła. Skorzystaj z nierówności, które z tego wynikają.

-- 14 maja 2016, o 12:03 --

I naprawdę nie musisz zmieniać indeksów. Indukcja jest po liczbie funkcji, które sumujesz, a nie po jakichś indeksach.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 suma kątów w n-kącie (udowodnić przez indukcję)  m1h4u  5
 Ciekawa suma  mol_ksiazkowy  2
 Suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych  kornishon  8
 udowodnij - suma wyrazow ciagu geometrycznego  Keendr  1
 Suma z n i k oraz nierówność do wykazania  Kajtek__  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl