szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2016, o 17:24 
Użytkownik

Posty: 138
Lokalizacja: Warsaw
udowodnić nierównośc jesli 0 < x < 1 to dla każdej liczby naturalnej n zachodzą nierówności

x +  \frac{x^2}{2} + ... +  \frac{x^n}{n}  < ln( \frac{1}{1-x} <x +  \frac{x^2}{2} + ... +  \frac{x^n}{n} +  \frac{x^{n+1}}{(n+1)(1-x)}

zatem środkowa częśc to-ln(1-x)
lewa to -ln(1-x) + C(zapisujemy sumę w postaci wzoru na szereg, rózniczkujemy, a potem całkujemy sumę)

a prawa to -ln(1-x) + \frac{x^{n+1}}{(n+1)(1-x)}

zatem, żeby nasza nierówność była prawdziwa wystarczy wykazać w tym momencie, że

1)stała całkowania jest mniejsza od 0

2) \frac{x^{n+1}}{(n+1)(1-x)} > 0

co do 2) to( n+1> 0  \wedge  1-x > 0  \Rightarrow (n+1)(1-x) ) |||
x^{n+1} > 0 zatem

\frac{x^{n+1}}{(n+1)(1-x)} > 0

a 1) ? fajnie by się liczyło stałą w 0, ale nie nalezy do dziedziny
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 14 maja 2016, o 17:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10091
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
zatem środkowa częśc to-ln(1-x)
prawa to -ln(1-x) + C(zapisujemy sumę w postaci wzoru na szereg, rózniczkujemy, a potem całkujemy sumę)

a prawa to -ln(1-x) + \frac{x^{n+1}}{(n+1)(1-x)}

Moim zdaniem to nieprawda, tylko dla środkowego wyrażenia się zgadza. Mylisz chyba szereg z jego sumą częściową.


Moje rozwiązanie: ze wzoru Maclaurina dla x \in (0,1) mamy
-\ln(1-x)= \sum_{k=1}^{ \infty }  \frac{x^{k}}{k}
- ponieważ każdy składnik tej sumy jest dodatni, więc "lewa" nierówność jest oczywista.
"Prawa" nierówność jest równoważna takiej:
\sum_{k=n+1}^{ \infty } \frac{x^{k}}{k}< \frac{x^{n+1}}{(n+1)(1-x)}
Zauważmy, że
\sum_{k=n+1}^{ \infty } \frac{x^{k}}{k}= \frac{x^{n+1}}{n+1} \sum_{k=n+1}^{ \infty } \frac{(n+1)x^{k-n-1}}{k} oraz dlak>n+1 mamy
\frac{n+1}{k} <1 i wszystkie składniki
\sum_{k=n+1}^{ \infty } \frac{(n+1)x^{k-n-1}}{k} są ddoatnie.
Zatem
\sum_{k=n+1}^{ \infty } \frac{x^{k}}{k}< \frac{x^{n+1}}{n+1}  \sum_{k=n+1}^{ \infty } x^{k-n-1}= \frac{x^{n+1}}{(n+1)(1-x)},
co było do udowodnienia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2016, o 18:07 
Użytkownik

Posty: 138
Lokalizacja: Warsaw
Premislav napisał(a):
Cytuj:

Moje rozwiązanie: ze wzoru Maclaurina dla x \in (0,1) mamy
-\ln(1-x)= \sum_{k=1}^{ \infty }  \frac{x^{k}}{k}
- ponieważ każdy składnik tej sumy jest dodatni, więc "lewa" nierówność jest oczywista.


i po lewej i w środkowym rozwinięciu każdy składnik tej sumy jest dodatni, więc co nam daje taki argument
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 14 maja 2016, o 18:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10091
Lokalizacja: Wrocław
Chyba żartujesz. Z tego, co napisałeś, wynika, że po lewej mamy sumę skończenie wielu wyrazów (dla dowolnego n), a w środku - sumę nieskończenie wielu (rozwinięcie w szereg Maclaurina). Ponieważ x\in (0,1), to każdy wyraz jest ściśle dodatni.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnic nierówność - zadanie 2  robin5hood  1
 Udowodnic nierównosc  pio  1
 Udowodnić nierówność - zadanie 2  mikolajm  2
 Udowodnic nierównoSC - zadanie 2  marcin111  5
 Udowodnic nierownosc  webi  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl