szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Szereg Fouriera
PostNapisane: 15 maja 2016, o 17:56 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Poznań
Dzień dobry,

Czy ktoś miałby pomysł jak rozwinąć w szereg Fouriera funkcję secans na przedziale od -\frac{\pi}{4} do \frac{\pi}{4} ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Szereg Fouriera
PostNapisane: 15 maja 2016, o 20:47 
Użytkownik

Posty: 430
Lokalizacja: Wrocław
Po prostu podstawiasz do wzorów i liczysz całki. Funkcja secans jest parzysta, więc szereg Fouriera nie będzie posiadał sinusów w rozwinięciu.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Szereg Fouriera
PostNapisane: 16 maja 2016, o 20:09 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Poznań
Parzystość udało mi się zidentyfikować :) a_{0} rownież policzyłem. Schody zaczynają się przy a_{n}. Próbuje to liczyć przez części i za kazdym razem się zakopuje. Czy byłbyś skłonny przedstawić rozwiązanie lub chociaż jego część?
Góra
 Tytuł: Szereg Fouriera
PostNapisane: 16 maja 2016, o 20:11 
Użytkownik
Pokaż jak liczysz, poszukamy błędów/naprowadzimy
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Szereg Fouriera
PostNapisane: 16 maja 2016, o 20:54 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Poznań
Skoro okres jest równy \frac{ \pi }{2}, to a_{n}= \frac{8}{ \pi } \int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} }  \frac{\cos 4nx}{\cos x} dx. Próbuje policzyć całkę oznaczoną \int_{}^{} \frac{\cos 4nx}{\cos x}dx. Liczę \left(  \frac{1}{\cos x} \right)'= \frac{\tg x}{\cos x}, funkcja pierwotna dla \cos 4nx wychodzi mi \frac{\sin 4nx}{4n}. Czyli całkując przez części dostaje \int_{}^{}  \frac{\cos 4nx}{\cos x}= \frac{\sin 4nx}{4n\cos x} -  \int_{}^{} \frac{\tg x\sin 4nx}{4n\cos x}.
Czy ta część jest ok? Jak mógłbym to teraz scałkować?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Szereg Fouriera
PostNapisane: 16 maja 2016, o 22:38 
Użytkownik

Posty: 430
Lokalizacja: Wrocław
Trochę liczenia jest(wykorzystałem później wzór na różnicę cosinusów):

\cos(4nx)=\cos(0  \cdot x)-\cos(0  \cdot x)+\cos(4  \cdot x)-\cos(4  \cdot x)+\cos(8  \cdot x)-\cos(8  \cdot x)+......+\cos((4n-4)  \cdot x)-\cos((4n-4)  \cdot x)+\cos(4n  \cdot x)=1+ \sum_{k=1}^{n}\left[ \cos(4k  \cdot x)-\cos((4k-4)  \cdot x)\right] =\\
=1-\sum_{k=1}^{n}\sin((4k-2)x)\sin(2x)=1-\sin(2x)\sum_{k=1}^{n}\sin((4k-2)x)=\\
=1-2\sin(x) \cos(x)\sum_{k=1}^{n}\sin((4k-2)x)

Podstaw, dostaniesz 2 całki pierwszą z cosinusem rozwiąż przez przekształcenie cos(x)=sin( \frac{\pi}{2} -x}) a w drugiej skrócisz cosinusy a następnie 2 razy przez części, potem przyrównujesz początkową całkę z końcowym wynikiem, dostajesz równanie z której wyliczasz tą całkę.

\int_{}^{} \frac{\cos 4nx}{\cos x}dx=\int_{}^{} \frac{1-2\sin(x) \cos(x)\sum_{k=1}^{n}\sin((4k-2)x)}{\cos x}dx=\\
= \int  \frac{1}{\cos(x)}dx -2  \int \sin(x) \sum_{k=1}^{n}\sin((4k-2)x)dx
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Szereg Fouriera
PostNapisane: 17 maja 2016, o 11:32 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Poznań
Dziękuję !
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 szereg Fouriera - zadanie 49  Agniezcka  5
 Szereg Fouriera - zadanie 46  buba72  1
 Szereg Fouriera - zadanie 96  Damkofr  0
 Szereg fouriera - zadanie 79  camel123  1
 Szereg Fouriera - zadanie 71  Kamil_As  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl