szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 maja 2016, o 18:18 
Użytkownik

Posty: 123
Lokalizacja: Yakushima
Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości x. Wierzchchołki tego trójkąta są środkami okręgów o promieniach \frac{x}{5} . Wyznacz długość promienia okręgu stycznego do tych okręgów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2016, o 18:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5535
Okrąg styczny zewnętrznie: r_1= \frac{3x}{10}
Okrąg styczny wewnętrznie: r_2= \frac{7x}{10}

Czy są też inne możliwe okręgi ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 maja 2016, o 18:28 
Użytkownik

Posty: 123
Lokalizacja: Yakushima
kerajs, skąd wzięły się te wartości?

-- 16 maja 2016, o 18:30 --

Czyżby przeciw prostokątna była średnicą?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2016, o 18:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5535
\begin{tikzpicture}
\draw (-2,-1.5)--(2,-1.5)--(2,1.5)--cycle;
\draw (-2,-1.5)circle(1);
\draw (2,-1.5)circle(1);
\draw (2,1.5)circle(1);
\draw[red] (0,0)circle(1.5);
\draw[red] (0,0)circle(3.5);
\end{tikzpicture}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2016, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 628
Lokalizacja: Łódź
kerajs napisał(a):
Czy są też inne możliwe okręgi ?
Są:

\begin{tikzpicture}
\draw (-2,-1.5)--(2,-1.5)--(2,1.5)--cycle;
\draw (-2,-1.5)circle(1);
\draw (2,-1.5)circle(1);
\draw (2,1.5)circle(1);
\draw[red] (0,0)circle(1.5);
\draw[red] (0,0)circle(3.5);
\draw[red] (0,-2.06)circle(3.083);
\draw[red] (0,2.06)circle(3.083);
\draw[red] (1.325,0)circle(2.65);
\draw[red] (-1.325,0)circle(2.65);
\draw[red] (1,-1.35)circle(2);
\draw[red] (-2.82,-2.74)arc(-80:-20:8.64);
\end{tikzpicture}
Jeden z okręgów (\draw[red] (-4.33,5.77)circle(8.64);) nie mieści się cały (tikz nie chce go narysować, bo jest za duży), więc zaznaczyłem tylko łuk.

Łącznie jest osiem okręgów stycznych do tych z treści zadania. Podejrzewam jednak, że autor zadania miał małą wyobraźnię i chodziło mu tylko o ten okrąg, który jest styczny zewnętrznie do pozostałych, czyli ten o promieniu \frac{3x}{10} (może też o ten o promieniu \frac{3x}{10}, ale to wątpliwe).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2016, o 22:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5535
Warto jeszcze dodać, że bez znajomości boków tego trójkąta nie sposób określić ani promieni dodatkowych okręgów, które był uprzejmy pokazać andkom, ani ich ilości (najwięcej może ich być sześć, a najmniej dwa, przy tej treści zadania).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2016, o 14:39 
Użytkownik

Posty: 65
Lokalizacja: z Marsa
kerajs napisał(a):
bez znajomości boków tego trójkąta nie sposób określić

z jednym wyjątkiem : przyprostokątne są sobie równe
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2016, o 06:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5535
jacdiag napisał(a):
z jednym wyjątkiem : przyprostokątne są sobie równe

To nie jest żaden wyjątek, ale wybór konkretnego trójkąta, jednego z nieskończenie wielu możliwych. Podobnie jak wybranie konkretnego trójkąta (spełniającego treść zadania) do grafiki pozwoliło na obliczenie położenia środków dodatkowych okręgów stycznych oraz ich promieni.

Inny wybór i inna ilość dodatkowych okręgów stycznych:

\begin{tikzpicture}
\draw (0,-1)--(0,1)--(-4.5826,-1)--cycle;
\draw (0,-1)circle(1);
\draw (0,1)circle(1);
\draw (-4.5826,-1)circle(1);
\draw[red] (-2.2913,0)circle(1.5);
\draw[red] (-2.2913,0)circle(3.5);
\draw[blue] (0,-5.25)circle(5.25);
\draw[blue] (-1.1798,0)circle(2.5466);
\draw[blue] (-3.4027,0)circle(2.5466);
\end{tikzpicture}

Edit:
W grafice andkoma trójkąt ma boki: x, \frac{3}{5}x,  \frac{4}{5}x
W grafice z tego postu trójkąt ma boki: x, \frac{2}{5}x,  \frac{ \sqrt{21} }{5}x

Niebieskie są okręgi których bez znajomości boków trójkąta nie sposób określić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2016, o 11:12 
Użytkownik

Posty: 105
Lokalizacja: Wrocław
A co się zmieni gdy jedna z przyprostokątnych \le \frac{x}{5} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2016, o 13:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5535
Brombal napisał(a):
A co się zmieni gdy jedna z przyprostokątnych \le \frac{x}{5} ?

Gdy krótsza z przyprostokątnych jest mniejsza od \frac{2}{5}x to są tylko dwa dodatkowe (niebieskie) okręgi.

Taki przykładowy trójkąt o bokach x, \frac{1}{5}x,  \frac{2 \sqrt{6} }{5}x :

\begin{tikzpicture}
\draw (0,-0.5)--(0,0.5)--(-4.899,-0.5)--cycle;
\draw (0,-0.5)circle(1);
\draw (0,0.5)circle(1);
\draw (-4.899,-0.5)circle(1);
\draw[red] (-2.4495,0)circle(1.5);
\draw[red] (-2.4495,0)circle(3.5);
\draw[blue] (-1.4248,0)circle(2.51);
\draw[blue] (-3.4742,0)circle(2.51);
\end{tikzpicture}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2016, o 13:51 
Użytkownik

Posty: 628
Lokalizacja: Łódź
To ja dopiszę jeszcze jedno bardzo fajne zadanie:

Na płaszczyźnie dane są trzy okręgi: a,b i c. Skonstruować (narysować używając tylko cyrkla i linijki) wszystkie okręgi styczne jednocześnie do a, b i c.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wielokąty i okręgi - zadanie 21  gabi071  0
 kąty i okręgi  marysiam5  0
 styczne ,okręgi  devek-war  1
 okregi dopisane  mietek  0
 Wielokąty i Okręgi - zadanie 19  Kulfonek  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl