szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2016, o 03:37 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Zbadaj zbieżność punktową i jednostajną ciągu:

f _{n}\left( x\right) =f\left( f _{n-1}\left( x\right)  \right)
f _{1}\left( x\right)=\sin x

Pokazać, że ciąg jest zbieżny jednostajnie do zera.
Góra
PostNapisane: 17 maja 2016, o 09:59 
Użytkownik
Jakie są zatem problemy w tym zadaniu?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 17 maja 2016, o 10:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10091
Lokalizacja: Wrocław
Hint: tw. Banacha o kontrakcji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2016, o 15:40 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7434
Lokalizacja: Wrocław
A co to jest f(x) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2016, o 21:20 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Nie znam tw. Banacha o kontrakcji. To powinno pójść bez tego.

f\left( x\right)=\sin x
Góra
PostNapisane: 17 maja 2016, o 21:32 
Użytkownik
Dario1 napisał(a):

f\left( x\right) to jest funkcja.



Dasio11 no to chyba wszystko jasne, prawda? :) :)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 17 maja 2016, o 21:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10091
Lokalizacja: Wrocław
Dario1, no niedbale to napisałeś.
Można się łatwo domyślić, że chodzi o ciąg superpozycji sinusa, tj.
f_{1}(x)=\sin x, f_{n+1}(x)=\sin(f_{n}(x)) dla n \ge 1,
ale nie zawadziłaby odrobina staranności.

Bez Banacha to powinno pójść, zaś z Banachem nie bardzo idzie, przecież uniwersalnie nie dostaniemy oszacowania ze stałą mniejszą niż 1, za szybko popatrzyłem.

Najpierw granica punktowa. Ustalmy x. Zauważ, że mamy
|\sin x| \le \left| x\right| (dowód z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej lub przez rozpisanie i klasyczny dowód nierówności z użyciem rachunku różniczkowego).
Ponadto ciąg (\left| f_{n}(x)\right|)_{ n \in \NN} jest ograniczony z dołu przez zero.
Stąd łatwo widać, że istnieje g= \lim_{n \to  \infty } \left| f_{n}(x)\right|. Ponadto zauważmy, że w takim razie mamy
g= \lim_{n \to  \infty } |f_{n}(x)|= \lim_{n \to  \infty }\left| f_{n+1}(x)\right|= \lim_{n \to  \infty } \left| \sin(f_{n}(x))\right|. Stąd łatwo widać, że g musi spełniać
g=\left| \sin(g)\right| z uwagi na ciągłość sinusa.
A rozwiązaniem równania x=\left| \sin x\right| jest tylko x=0, co jest jakimś rpostym ćwiczeniem z analizy. Stąd g=0 - masz granicę punktową. Teraz weź definicję zbieżności jednostajnej do ręki i zaprezetnuj jakiś wkład własny, najwyżej poprawimy.
A ja idę do monopolowego.
Wykorzystałem fakt, że f \rightarrow 0 \Leftrightarrow \left| f\right|  \rightarrow 0, żeby nie babrać się ze znakami sinusa (tj. dla ustalonego x również znak jest ustalony, ale dla ujemnego znaku może się paprać, np. masz \sin \frac{3\pi}{2}=-1, a\sin\left( \sin \frac{3\pi}{2} \right)=\sin( -1)=\text{ coś tam ujemnego o module mniejszym niż }1, więc tracimy monotoniczność, a tak jest łatwo).

Dario1, naucz się proszę podstaw kultury osobistej. Owszem, miodzio może i mógł darować sobie ten komentarz, ale na niedbałość zapisu trzeba zwracać uwagę (jak to zrobił Dasio11), bo tracisz czas innych ludzi, pisząc niechlujnie (a w dalszej perspetywie takoż tracisz punkty na kolosach, jeśli tak zapisujesz).
Teksty w stylu Twojego ostatniego są dobre dla dzieci z podstawówki i osób z niedorozwojem intelektualnym, więc zastanów się dobrze, czy chcesz być kojarzony z takimi kręgami piekieł.

Normalnie wykasowałbym odpowiedź po tym, co napisałeś, ale skorzystałem z okazji, żeby Cię pouczyć, bo niestety widać u Ciebie wyraźne braki w zakresie dobrego wychowania (nie twierdzę o tym na podstawie jednego postu/wątku), a przychodzisz tu po pomoc, to nie Ty robisz ludziom łaskę, że zamieszczasz tutaj zadanka (zwykle zresztą nietrudne).

-- 17 maja 2016, o 21:03 --

Aha, trzeba coś jeszcze dodać, sinus jest ciągły, wartość bezwzględna jest ciągła, no i złożenie funkcji ciągłych jest ciągłe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2016, o 22:27 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No właśnie mógł sobie darować. A kto Ci powiedział, że jestem dobrze wychowany? Jestem chamem i prostakiem. Ale wchodzę w jego rolę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadaj zbieżność punktową i jednostajną  mat02  4
 Granica punktowa szeregu  tbfa  3
 jednostajna zbiezność - zadanie 7  rochaj  2
 Zbadać zbieżność szeregu - zadanie 192  torpeda121  6
 Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcyjnego - zadanie 8  Teano  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl