szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2016, o 17:24 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: Rzeszów
Próbuję rozwiązać pewną nierówność, wydaje mi się że mam na nią pomysł ale niestety wychodzi mi odwrotnie niż ma być. Na necie jest rozwiązanie za pomocą wzorów skróconego mnożenia ale chciałbym się dowiedzieć czy w swoim sposobie popełniam błąd czy po prostu nie można tego w ten sposób rozwiązać z jakiegoś powodu.
a, b, c so nieujemne

4\left(  \sqrt{a^{3}b^{3}}+ \sqrt{b^{3}c^{3}}+ \sqrt{a^{3}c^{3}   \right) \le 4c^{3}+\left( a+b\right)^{3}

Z nierówności między średnimi:

4 \sqrt{a^{3}b^{3}} \le 2a^{3}+2c^{3}
4 \sqrt{b^{3}c^{3}} \le 2b^{3}+2c^{3}
4 \sqrt{a^{3}b^{3}} \le 2a^{2}b+2ab^{2}

Co w połączeniu daje:

4\left(  \sqrt{a^{3}b^{3}}+ \sqrt{b^{3}c^{3}}+ \sqrt{a^{3}c^{3}   \right) \le 4c^{3}+2a^{3}+2b^{3}+2a^{2}b+2ab^{2}

No i teraz próbuje wykazać że:

4c^{3}+2a^{3}+2b^{3}+2a^{2}b+2ab^{2} \le 4c^{3}+\left( a+b\right)^{3}

Po odjęciu stronami:

a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2} \le 0
a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b) \le 0
(a-b)^{2}(a+b) \le 0
A jest dokładnie na odwrót...
Zawsze mam problem w znalezieniu nawet najgłupszego (swojego) błędu więc proszę o pomoc :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2016, o 19:12 
Użytkownik

Posty: 322
Lokalizacja: Toruń
Poza literówką w nierówności 4 \sqrt{a^{3}b^{3}} \le 2a^{3}+2c^{3} nie widzę błędu.

-- 18 maja 2016, o 19:17 --

Nie sprawdzałem szczegółów, ale jeśli użyjesz nierówności
a^3+b^3+c^3\geq\sqrt{a^3b^3}+\sqrt{b^3c^3}+\sqrt{c^3a^3}, to pozostanie Ci chyba do udowodnienia nierówność, która pójdzie Twoją metodą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2016, o 19:23 
Moderator

Posty: 692
Lokalizacja: Zabrze
Po prostu nierówność, którą chcesz dowieść potem, jest nieprawdziwa. Za mocno oszacowałeś na początku i po prostu nie można dokończyć rozwiązania tym torem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2016, o 19:41 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: Rzeszów
Dobra dzięki, widocznie za bardzo się skupiłem na tym żeby to dowieść samymi średnimi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2016, o 20:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9885
Lokalizacja: Wrocław
M Maciejewski, ja nie widzę, w jaki sposób połączenie napisanej przez Pana nierówności z metodą RCCK daje nam dowód tezy. Moim zdaniem to nie wyjdzie (choć oczywiście mogę się mylić).

Moja propozycja: jeśli c=0, to nierówność jest oczywista, a w przeciwnym wypadku dzielimy stronami przez c^{3}, co daje:
4+\left(  \frac{a+b}{c} \right)^{3} \ge 4\left(  \sqrt{ \frac{a^3 }{c^3}}\sqrt{ \frac{b^3 }{c^3}}+ \sqrt{ \frac{a^{3}}{c^{3}} } + \sqrt{ \frac{b^{3}}{c^{3}} }   \right).
Podstawmy x= \sqrt{\frac a c}, y= \sqrt{\frac b c}, a dostaniemy równoważną nierówność:
4+(x^{2}+y^{2})^{3} \ge 4(x^3y^3+x^3+y^3)
dla x,y \ge 0.
A to już powinno pójść łatwiej, tylko że mi się nie chce nad tym siedzieć.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl