szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2016, o 20:54 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Polska
witam Was,
czy ktoś zechciałby rzucić okiem i sprawdzić, czy zadanie dobrze jest rozwiązane?

Wyznacz zbieżność szeregów.
a) \sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{\left( x+1\right)^{n} }{\left( 2n-1\right)\left( 2n-1\right)!  }

a_{n} =  \frac{\left( x+1\right)^{n}}{\left( 2n-1\right)\left( 2n-1\right)! }

a_{n+1} =  \frac{\left( x+1\right)^{n+1}}{\left( 2n+1\right)\left( 2n+1\right)! }

\lim_{n\to\infty} \left|  \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right| =

\lim_{n\to\infty} \frac{\left| (x+1)^{n+1}\right| }{\left( 2n+1\right)\left( 2n+1\right)! } \cdot  \frac{\left( 2n-1\right)\left( 2n-1\right)!}{\left| (x+1)^{n}\right| }=

\lim_{n\to\infty}  \frac{\left| x+1\right|(2n-1) }{(2n+1)2n(2n+1)}= 0

Więc R =  \infty i szereg jest zbieżny dla każdego x

b)\sum_{n=1}^{ \infty }   \frac{(x-5)^{n}}{n3^{n}}

a_{n} = \frac{ (x-5)^{n}}{n3^{n} }

a_{n+1} = \frac{ (x-5)^{n+1}}{(n+1)3^{n+1} }

\lim_{n\to\infty}  \left|  \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| =

\lim_{n\to\infty} \frac{\left| (x-5)^{n+1}\right| }{(n+1)3^{n+1}}  \cdot  \frac{n3^{n}}{\left| (x-5)^{n}\right| }   =

\lim_{n\to\infty}  \frac{\left| x-5\right| }{3}  \frac{n}{n+1} =  \frac{\left| x-5\right| }{3}

\frac{\left| x-5\right| }{3} < 1
2<x<8

x=8

\sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{3^{n}}{n3^{n}} = \sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{1}{n} szereg rozbieżny

x=2

\sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{(-3)^{n}}{n3^{n}} = \sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{(-1)^{n}}{n} szereg zbieżny

Szereg zbieżny dla x \in <2;8)

c) \sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{3^{n}(x-2)^{n}}{ \sqrt{(3n-2)2^{n}} }

a_{n} =\frac{3^{n}(x-2)^{n}}{ \sqrt{(3n-2)2^{n}} }

a_{n+1} =\frac{3^{n+1}(x-2)^{n+1}}{ \sqrt{(3n+1)} \sqrt{2^{n+1}}} }

\lim_{n\to\infty}  \frac{3^{n+1}(x-2)^{n+1}}{ \sqrt{(3n+1)}  \sqrt{2^{n+1}} }  \cdot  \frac{\sqrt{(3n-2)} \sqrt{2^{n}}}{ 3^{n}\left| (x-2)^{n}\right| }  =

\lim_{n\to\infty}   \frac{2\left| x-2\right| }{ \sqrt{2} }  \cdot  \frac{ \sqrt{3n-2} }{ \sqrt{3n+1} }   =  \frac{3\left| x-2\right| }{ \sqrt{2} } < 1

\frac{3\left| x-2\right| }{ \sqrt{2} } < 1

2 -  \frac{ \sqrt{2} }{3} <x< 2 +  \frac{ \sqrt{2} }{3}

x= 2 +  \frac{ \sqrt{2} }{3}

\sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{3^{n}( \frac{ \sqrt{2} }{3} )^{n}}{ \sqrt{(3n-2)2^{n}} }

\sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{1}{ \sqrt{3n-2} } szereg rozbieżny

x= 2 -  \frac{ \sqrt{2} }{3}

\sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{3^{n}( \frac{ \sqrt{2} }{3} )^{n}}{ \sqrt{(3n-2)2^{n}} }

\sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{(-1)^{n}}{ \sqrt{3n-2} }

\lim_{n\to\infty}  \frac{1}{ \sqrt{3n-2} } = 0

Na mocy kryterium Leibniza szereg \sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{3^{n}(x-2)^{n}}{ \sqrt{(3n-2)2^{n}} } jest zbieżny.
Obszar zbieżności x \in <2 -  \frac{ \sqrt{2} }{3};2 +  \frac{ \sqrt{2} }{3}>
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 01:05 
Użytkownik

Posty: 322
Lokalizacja: Toruń
Niby wszystko jest dobrze, ale:
  • Łatwiej w (b) i (c) używać kryterium Cauchy'ego, niż d'Alemberta,
  • W ostatnim przykładzie masz chyba literówki:
    • Jak wstawiasz x=2-\frac{\sqrt 2}3, to zabrakło Ci minusa we wzorze (ale potem już jest).
    • W zdaniu: Na mocy kryterium Leibniza znów brakuje minusa.
    • Przedział zbieżności jest zły, ponieważ w x=2+\frac{\sqrt 2}3 było przecież rozbieżne.
  • Może zamiast < lepiej na forum używać \langle lub [?
Góra
PostNapisane: 21 maja 2016, o 08:46 
Użytkownik
c zle. Wyszła Ci rozbieżność na jednym krańcu a masz przedział w odpowiedzi obustronnie domknięty
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2016, o 20:21 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Polska
Dziękuję za pomoc.
Poprawki naniesione.
Ostateczna odpowiedź w lit. c) to
x \in \left\langle 2 -  \frac{ \sqrt{2} }{3};2 +  \frac{ \sqrt{2} }{3} \right)

-- 23 maja 2016, o 06:01 --

znów mam zadanie i prośba o sprawdzenie
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f(x) = \left| x\right|, x \le  \pi i napisz trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia

f(x) = \left| x\right|, x \le  \pi
f(x) =  \frac{ a_{0} }{2} + \sum_{n=1}^{ \infty} (a_{n}\cos(nx) + b_{n}\sin(nx))

a_{0} =  \frac{1}{ \pi } f(x)dx = \frac{1}{ \pi }\left(  \int_{- \pi }^{0}-xdx +  \int_{ 0}^{\pi}xdx\right)=

=\frac{1}{ \pi } [ \left( - \frac{1}{2} x^{2}\right)\right|^{0}_{- \pi }  + 
\left( \frac{1}{2}x^{2}\right)\right|^{ \pi }_{0} ] =
\frac{1}{ \pi }\left(  \frac{  \pi ^{2} }{2} +   \frac{  \pi ^{2} }{2} \right) =  \pi

a_{n} =  \frac{1}{ \pi }  \int_{- \pi }^{ \pi } f(x)\cos(nx)dx = 
 \frac{1}{ \pi } \left( \int_{- \pi }^{0}-x\cos(nx)dx +  \int_{0}^{ \pi } x \cos nxdx \right)    =

=   \frac{2}{ \pi }  \int_{0}^{ \pi }x cosnxdx  =\frac{2}{ \pi } ( x \frac{\sin(nx)}{n} \hline^{ \pi }_{0} +      \frac{\cos(nx)}{n^{2}}  \hline^{ \pi }_{0} )  =

=   \frac{2}{ \pi } (  \frac{ \cos(n \pi )}{n^{2}} -  \frac{1}{n^{2}} )  =

=  \frac{2 ((-1)^{n} - 1)}{ \pi n^{2}}

b _{n} =  \frac{1}{ \pi }  \int_{- \pi }^{ \pi }f(x)\sin nx dx =
\frac{1}{ \pi }  \int_{- \pi }^{ \pi }\left| x\right| \sin (nx) dx = 0
całka z funkcji nieparzystej po obszarze zamkniętym

f(x) =  \frac{ \pi }{2} + \sum_{n=1}^{ \infty}  \frac{2((-1)^{n} -1)}{ \pi n^{2}} \cos nx

f(x) =  \frac{ \pi }{2} -  \frac{4}{ \pi } \cos x + 0\cos2x -  \frac{4}{9 \pi }\cos(3x)+...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciąg funkcyjny dobrze określony - wykazać  milo812  1
 Szeregi Fouriera - zadanie 7  lidka482  2
 Szeregi Fouriera - zadanie 4  majuch  1
 szeregi potegowe  kerim  1
 Wzór Maclaurina i przybliżenie błędu (czy dobrze?)  MuniekMg  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl