szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2016, o 20:14 
Użytkownik

Posty: 5493
Lokalizacja: Kraków
Dla jakich f: R \mapsto R jest f( f(x) + y)= 2x+ f(  f( f(y)) -x) gdy x, y \in R ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2016, o 23:36 
Użytkownik

Posty: 322
Lokalizacja: Toruń
Fajne zadanie! Zaciekawiło mnie, namęczyłem się i mi wyszło, że jedyną funkcją spełniającą to równanie jest \mathrm{id}. Dobrze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 14:08 
Użytkownik

Posty: 5493
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
że jedyną funkcją spełniającą to równanie jest \mathrm{id}.
Jeśli f(x)=x to obie strony równania to y+x. Czy jest to jedyne rozwiązanie...???
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 21 maja 2016, o 22:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10812
Lokalizacja: Wrocław
Również f(x)\equiv 0 jest dobra, ale być może chodziło o nietrywialne rozwiązania...
Na dobry początek warto wykazać, że f(0)=0, a dalej kurde nie wiem
dowód faktu, że f(0)=0:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 23:35 
Użytkownik

Posty: 5493
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
Również f(x)\equiv 0 jest dobra
a czemu...?!
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 21 maja 2016, o 23:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10812
Lokalizacja: Wrocław
O rany, piramidalna bzdura, przepraszam, nawet dodawać nie potrafię. :s
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 23:52 
Użytkownik

Posty: 706
Może umie ktoś pokazać, że f'(x)=1? Wtedy f(x)=x+c, a łatwo pokazać, że wtedy c musi być zero.

Próbowałem coś takiego zrobić, ale w rozumowaniu pojawiła się całka z f'(f(y))f'(y)f'(f(y)), która wg Wolframa jest nieelementarna (gdyby była jedna, a nie dwie iteracje po prawej stronie równania, to by łatwo poszło :| )
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 22 maja 2016, o 02:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10812
Lokalizacja: Wrocław
Tylko że w ten sposób pokażesz, iż jedyną funkcją różniczkowalną, która spełnia rozważane równanie, jest f(x)=x, a pewnie można wykazać więcej...

Skoro mamy już f(0)=0 (mam nadzieję, że bez błędu), to teraz spróbujmy to dobić:
kontynuacya:    


Pewnie to można zrobić znacznie ładniej... A może i tak są błędy, których nie zauważyłem. Tak mi się widzi, że ja niejawnie skorzystałem z tego, że f jest surjekcją na \RR, a tak wcale nie musi być. :oops: [tzn. raczej musi, ale nie wynika to z moich wypocin]
Ogólnie to debil ze mnie straszny i burak pastewny, bo przecież jeśli już niejawnie wymuszam surjektywność, to od razu z f(-f(y))=-f(y) wynika...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 22 maja 2016, o 04:16 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: ba
    Po ustaleniu, że dla dowolnych rzeczywistych x,y

    1. f(0)=0

    2. f(y)=f(f(f(y))

    3. f(f(x))=2x + f(-x)

    można tak dokończyć.

    Oznaczmy X=f(\mathbb{R}) zbiór wartości funkcji f.

    Jeśli x\in X, czyli z definicji zbioru X mamy x=f(y) dla pewnego y, to na mocy 2. x=f(f(x)). Podstawiamy to do 3. otrzymujemy x=2x+f(-x) skąd f(-x)=-x. Zatem -x\in X oraz f|_X=\mbox{id}|_X. W szczególności f spełnia równanie:

    4. f( f(x) + y)= 2x+ f( f(y) -x)

    dla dowolnych rzeczywistych x,y. W koncu podstawmy w 4. y:=-f(x):

    f( f(x) - f(x))= 2x+ f( f(-f(x)) -x) skąd

    f(f(-f(x))-x)=-2x

    czyli f jest suriekcją, X=\mathbb{R} i w konsekwencji f=\mbox{id}.
    Góra
    Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


     Zobacz podobne tematy
     Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
     iteracje picarda  _radek  0
     Iteracje, Metoda Gaussa i interpolacja  marcin-RR  0
     [Spoj][Algorytmy][C++] Zmiana rekurencji na iterację - zadanie 2  calmosc  3
     Iteracje ograniczone i warunkowe  Kanodelo  4
     Iteracje Gaussa-Seidela  author  0
     
    Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
    Copyright (C) Karpatka.pl