szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 09:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 268
Lokalizacja: Łódzkie
Dla a, b > 0.
\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{a}  \ge a^{2} + b^{2}

Jak to wykazać za pomocą nierówności pomiedzy średnimi? Było to w zadaniach do tego zagadnienia, natomiast ja poradziłem sobie inaczej, bo nie umiałem :P. Zamieszczę też mój sposób do zweryfikowania.
Niech x = \frac{a}{b}
xa^{2} + \frac{b^{2}}{x} \ge a^{2} + b^{2} \\
 a^{2} \left( x - 1 \right)  - b^{2} \left( \frac{x - 1}{x} \right)  \ge 0 \\
  \left( x - 1 \right)  \left( a^{2} - \frac{b^{2}}{x} \right)  \ge 0 \\
  \left( \frac{a - b}{b} \right)  \left( \frac{a^{3} - b^{3}}{a} \right)  \ge 0 \\
 \frac{ \left( a - b \right) ^{2} \left( a^{2} + ab + b^{2} \right) }{ab} \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 10:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10775
Lokalizacja: Wrocław
Jest poprawnie.
Zauważmy, że
\frac{ \frac{a^3}{b} + ab}{2} + \frac{ \frac{b^3}{a} +ab}{2}\ge a^2+b^2
- dwa razy średnie.
Wystarczy zatem pokazać, że
\frac{\frac{b^3}{a}+\frac{a^3}{b}}{2}\ge ab, a to też nierówność między średnimi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 10:07 
Użytkownik

Posty: 754
Lokalizacja: Warszawa
Stronami mnozysz przez ab, wyrazenie jest dodatnie. Potem wszystko na jedną stronę , wyciągasz a-b, przed nawias i potem wzór na różnice szescianow, potem uzasadniasz że iloczyn dwóch nawiasów jest dodatni, co zakończy dowód.

-- 21 maja 2016, o 10:09 --

Ale, pomysł premislava jest przyjemny, mój pałkarski.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 10:18 
Użytkownik

Posty: 13545
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nierównośc jest równoważna takiej: a^4+b^4\geq a^3b+ab^3

Wyobraż sobie, że masz dwie substancje: pierwsza w cenie a^3 PLN/kg a druga b^3 PLN/kg

Wolno ci wziąć a kg jednej z nich i b kg tej drugiej. Co wybierasz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 10:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 268
Lokalizacja: Łódzkie
Premislav, czemu wystarczy to pokazać?
Milczek, w gruncie rzeczy zrobiłem to w moim rozwiązaniu.
a4karo, oczywiście, ze prawą stronę nierówności, bo więcej za mniej :D. Ciekawe, czy takie rozwiązanie z odpowiednim opisem by przeszło na maturze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 10:34 
Użytkownik

Posty: 13545
Lokalizacja: Bydgoszcz
Larsonik napisał(a):
a4karo, oczywiście, ze prawą stronę nierówności, bo więcej za mniej :D. Ciekawe, czy takie rozwiązanie z odpowiednim opisem by przeszło na maturze.


Jesteś pewien? to dlaczego lewa strona jest większa od prawej? Przemyśl to...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 10:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 268
Lokalizacja: Łódzkie
Bo zapłaciłbym więcej wybierając lewą stronę? A wybrałem prawą, bo wolę płacić mniej :P. Właściwie źle napisałem w poprzednim poście. Nie więcej za mniej, tylko tyle samo za mniej. Chyba.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 10:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10775
Lokalizacja: Wrocław
Larsonik, liczyłem, że już się domyślisz. No cóż, może niejasno napisałem...
Nierówności są przechodnie, tj. jeśli a\ge b \wedge b\ge c, to a\ge c.

No to z tych nierówności, które napisałem, wynika:
\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{a}  = \frac{\frac{a^3}{b}+\frac {b^3 }{a}}{2} + \frac{\frac {a^3}{b}+\frac{b^3}{a}}{2}\ge  \frac{ \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{a} }{2}+ab= \frac{\frac {a^3}{b}+ab}{2}+ \frac{\frac {b^3}{a}+ab}{2} \ge a^2+b^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 10:51 
Użytkownik

Posty: 13545
Lokalizacja: Bydgoszcz
Larsonik napisał(a):
Bo zapłaciłbym więcej wybierając lewą stronę? A wybrałem prawą, bo wolę płacić mniej :P. Właściwie źle napisałem w poprzednim poście. Nie więcej za mniej, tylko tyle samo za mniej. Chyba.


OK, jak myślisz o płaceniu, to racja. Ja jednak wolę liczyć wartość tego, co dostanę (!). Jak wybiore lewą stronę, to mam więcej droższego :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 10:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 268
Lokalizacja: Łódzkie
Premislav, wybacz, trochę głupi jestem, jeszcze wiele czasu minie zanim zacznę się pewnych rzeczy domyślać. Brakowało mi tej pierwszej nierówności.
a4karo, ja i tak czuję się pewniej na gruncie matematyki niż ekonomii :lol:
Dzięki wszystkim za łopatologiczne wyjaśnienie!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 11:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10775
Lokalizacja: Wrocław
Larsonik, tylko się nie zniechęcaj, może trochę zbyt surowo zabrzmiało to, co napisałem, to, że brakuje Ci doświadczenia (z którym nikt się raczej nie rodzi), nie znaczy, że jesteś głupi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2016, o 13:16 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
Dorzucę jeszcze swój pomysł:

Nierówność \frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{a} \ge a^{2} + b^{2} mnożymy obustronnie przez \frac{1}{ab} i dostajemy: \frac{a^2}{b^2}+ \frac{b^2}{a^2}  \ge  \frac{a}{b} +  \frac{b}{a}.

Teraz podstawiamy t= \frac{a}{b} +  \frac{b}{a} i nasza nierówność sprowadzi się do t^2-2  \ge t czyli równoważnie (t+1)(t-2) \ge 0 i to jest prawda, bo t \ge 2.

A ten ostatni fakt możesz właśnie wykazać średnimi czyli tak jak chciałeś :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2016, o 13:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 268
Lokalizacja: Łódzkie
Pomysł kolegi mint18 chyba najprostszy. Dzięki jeszcze raz.
Premislav, jest w porządku :D.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Udowodnij nierówność - zadanie 5  Lee  7
 Udowodnij nierówność - zadanie 6  dora  5
 udowodnij nierówność - zadanie 7  Iwka  6
 Udowodnij nierowność  Aramil  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl