szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 maja 2016, o 13:03 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Warszawa
Hej,
Mam problem z pewnym zadaniem, mianowicie:
Udowodnij, że n^{2} - 2 jest niepodzielne przez 3 dla wszytskich n \ge 3 \wedge n \in \mathbb{N}
Pachnie dowodem nie wprost, wtedy założenie:
n^{2} - 2 = 3k sprowadza się do pokazania, że
\sqrt{3k+2} nie jest liczbą naturalną, tak? W tym miejscy utknąłem. Próbowałem już rozbijania tego na wzór skróconego mnożenia, zapisywania n w postaci liczby parzystej i nieparzystej i nie mogę dojść do niczego konstruktywnego... Ktoś, coś? Byłbym bardzo wdzięczny,
Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 maja 2016, o 13:07 
Użytkownik

Posty: 752
Lokalizacja: Warszawa
Rozważ reszty z dzielenia liczby n przez 3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 maja 2016, o 14:06 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Warszawa
Ok, czyli tak:
n = 3k
\\
n^{2} - 2  \leftrightarrow {3k}^{2} - 2 \leftrightarrow 3(3{k}^{2}) - 2 = p. \  wtedy \ p \mod 3 = 1

n = 3k + 1
\\
n^{2} - 2  \Leftrightarrow {3k + 1}^{2} - 2 \Leftrightarrow 3(3{k}^{2} + 2k) - 1 = p. \ wtedy \ p\mod3 = 2

n = 3k + 2
\\
n^{2} - 2  \Leftrightarrow {3k + 2}^{2} - 2 \Leftrightarrow 3(3{k}^{2} + 2k) + 2 = p. \ wtedy \ p\mod3 = 2

czyli dla każdej liczby naturalnej n dzielenie wyrażenia n^{2} - 2 przez 3 nie daje całkowitego wyniku, wniosek: żadna liczba naturalna postaci n^{2} - 2 nie jest podzielna przez 3.
Ok, chyba działa, wielkie dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 maja 2016, o 14:22 
Użytkownik

Posty: 752
Lokalizacja: Warszawa
Wybacz, nie sprawdzę bo gubię się w twoim zapisie . Pokaże jak ja bym to zrobił,
Rozpatrujemy reszty z dzielenia przez 3 więc n ma postać jedną z tych postaci n=3k  \\ n=3k+1   \\n=3k+2. Więc ich kwadraty to n^{2}=9k^2  \\ n^2=3(3k^2+2k)+1 \\ n^2=3(3k^2+4k+1)+1 .
Odejmujemy wszędzie 2 i mamy liczby
n^2-2=9k^2-2 \\
n^2-2=3(3k^2+2k)-1  \\
n^2-2=3(3k^2+4k+1)-1, czyli już widać że żadna z tych liczb nie dzieli się przez trzy dla n,k \in C

-- 23 maja 2016, o 14:23 --

Co do twojego, trochę zagmatwane ale widać że wiesz o co chodzi.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 niepodzielność przez 3  poetaopole  1
 Podzielność przez 7 - zadanie 3  Kwiatek29  1
 podzielnosc przez 9  asiaaadg  1
 podzielność przez 3 - zadanie 17  theoldwest  6
 Podzielność potęg liczby 3 przez 6  kam51  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl