szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 maja 2016, o 02:29 
Użytkownik

Posty: 367
Lokalizacja: Rzeszów
Zastanówmy się czy istnieje nieskończony ciąg zbiorów \left( X _{n} \right) taki że

\ldots \in X _{3}\in X _{2} \in  X _{1} \in X _{0}

Postaram się Was przekonać, że takich ciągów nie może być w teorii mnogości.

Zauważmy że, zgodnie z intuicją, zbiór jest poprawnie określony gdy wiadomo z jakich elementów jest złożony. Zatem gdyby istniał taki ciąg zbiorów \left( X _{n} \right), to X _{0} jest poprawnie utworzonym zbiorem, więc jest złożonym z pewnych elementów, jednym jego elementem jest zbiór X _{1}. Co to za zbiór? Jednym jego elementem jest zbiór X _{2}. Co to za zbiór X _{2} ? Jednym jego elementem jest zbiór X _{3}- itd. Nie możemy robić tego procesu w nieskończoność, bo nie zamkniemy określenia elementów tych że zbiorów. Zatem takich ciągów nie ma

Przytoczmy aksjomat regularności

Jeśli x jest niepustą rodziną zbiorów to istnieje y\in x że y \cap x=\varnothing

Tak, nie widać tego. Jednak uzasadniłem że nie ma nieskończonych malejących ciągów zbiorów. Pokażemy że to twierdzenie implikuje aksjomat regularności. To uzasadni aksjomat regularności, o ile wierzymy że takich ciągów nieskończonych nie ma ( do czego próbowałem Was przekonać)

Dowód

Twierdzenie że nie ma nieskończonych ciągów zbiorów \left( X _{n} \right) takich że

\ldots \in X _{3}\in X _{2} \in  X _{1} \in X _{0}

implikuje aksjomat regularności

Aby udowodnić aksjomat regularności ustalmy dowolną niepustą rodzinę zbiorów x
Szukamy y\in x aby y \cap x=\varnothing Przypuśćmy ne wprost że

\hbox { dla każdego }z\in x  \quad z \cap x \neq \varnothing zatem

\hbox{ dla każdego } z\in x  \hbox{ istnieje } z^{\prime} \hbox{ że } \quad z^{\prime}\in z \hbox{ i }  z^{\prime}\in x zatem

\hbox{ dla każdego } z\in x  \hbox{ istnieje } z^{\prime}\in x \hbox{ że } \quad z^{\prime}\in z (**)

Ponieważ x jest niepustą rodzinę zbiorów, więc istnieje z_{0}\in x

Ponieważ z_{0}\in x, więc na mocy (**) istnieje z_{1}\in x że z_{1}\in z_{0}

Ponieważ z_{1}\in x, więc podobnie istnieje z_{2}\in x że z_{2}\in z_{1}

Ponieważ z_{2}\in x, więc znowu istnieje z_{3}\in x że z_{3}\in z_{2}

Itd. Otrzymujemy zatem ciąg

\ldots \in z _{3}\in z _{2} \in  z _{1} \in z _{0}

a my założyliśmy że takich nie ma. Sprzeczność :D

Zatem uzasadniłem aksjomat regularności
Przy pomocy aksjomatu regularności udowodniono że nie ma takich nieskończonych ciągów zbiorów. My udowodniliśmy twierdzenie odwrotne.
Zatem aksjomat regularności jest równoważnym innym sformułowaniem że takich ciągów nieskończonych nie ma. A do tego Was chyba przekonałem :D
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 maja 2016, o 10:45 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3943
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Lancaster
To jest Lemat 1 tutaj.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2016, o 00:41 
Użytkownik

Posty: 367
Lokalizacja: Rzeszów
Aksjomat regularności niesie za sobą trzy bardzo ciekawe konsekwencje

Mówi że nie może się zdarzyć dla zbioru X aby X\in X, że nie może się zdarzyć dla zbiorów A,B aby jednocześnie A\in B \hbox{ i } B\in A

Oraz że nie może się zdarzyć dla zbiorów aby X_{1} \in X_{2} \in \ldots \in X_{n}\in X_{1}

Jest to twierdzenie zgodne z moją intuicją, gdyż np. uzasadniając pierwsze że nie może być aby X\in X, to jeśli zbiór X\in Y to zbiór Y jest bardziej złożonym zbiorem od zbioru X, jest to nowy zbiór, a więc Y nie jest tym samym zbiorem co zbiór X :mrgreen:

Formalnie, dla dowolnych zbiorów:

(1) X\not\in X

(2) A\in B  \rightarrow B\not\in A i ogólniej

(3) X_{1} \in X_{2} \in \ldots \in X_{n} \rightarrow X_{n} \not\in X_{1} \hbox{ gdzie } n \ge 2

Dowód

(1) Przypuśćmy że X\in X

Rozważmy \left\{ X\right\} i zastosujmy do takiego zbioru aksjomat regularności

\left\{ X\right\} jest niepustą rodziną zbiorów- stosując aksjomat regularności otrzymujemy że istnieje Y\in \left\{ X\right\} że Y \cap  \left\{ X\right\}=\varnothing

Zatem musi być Y=X, czyli podstawiając otrzymujemy że X \cap  \left\{ X\right\}=\varnothing

Tymczasem, ponieważ założyliśmy że X\in X to X\in  X \cap  \left\{ X\right\} a więc ten iloczyn jest niepusty- sprzeczność

(2) Przypuśćmy że A\in B \hbox{ i } B\in A

Rozważmy \left\{ A, B\right\} i zastosujmy do takiego zbioru aksjomat regularności

\left\{ A, B\right\} jest niepustą rodziną zbiorów- stosując aksjomat regularności otrzymujemy że istnieje Y\in \left\{ A, B\right\} że Y \cap \left\{ A, B\right\}=\varnothing

Jeśli Y=A to A \cap \left\{ A, B\right\}=\varnothing

Tymczasem, ponieważ założyliśmy że B\in A to B\in  A \cap \left\{ A, B\right\} a więc ten iloczyn jest niepusty- sprzeczność

W przeciwnym przypadku mamy Y=B, zatem B \cap \left\{ A, B\right\}=\varnothing

Tymczasem, ponieważ założyliśmy że A\in B to A\in  B \cap \left\{ A, B\right\} a więc ten iloczyn jest niepusty- sprzeczność

Wszystkie przypadki prowadzą do sprzeczności, a więc własność (2) została udowodniona :D

Dowód własności (3) napiszę później

Własność (1) pozwala w szybki sposób udowodnić że nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów

Bowiem gdyby taki zbiór istniał, to on sam też byłby zbiorem

Zbiór wszystkich zbiorów sam też jest zbiorem, musi być więc elementem własnym, a tak być nie może :D



Próba



Czas udowodnić własność 3. Zapiszmy ją porządniej

Dla dowolnego n \ge 2 oraz dla dowolnych zbiorów X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}

(3) \left( \forall_{0<m<n} \quad X_{m}\in X_{m+1}\right) \rightarrow X_{n} \not\in X_{1}

Dowód (3)

Przypuśćmy, że dla zbiorów X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} zachodzi

\left( \forall_{0<i<n} \quad X_{i}\in X_{i+1}\right)  \hbox { oraz } X_{n}  \in X_{1}

Rozważmy zbiór \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}  \right\} i zastosujmy do niego aksjomat regularności

Otrzymujemy że istnieje Y\in \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}  \right\} że Y  \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}  \right\}= \varnothing

Jeśli Y=X_{1}, to ponieważ X_{n}\in X_{1}, więc X_{n}\in X_{1}  \cap  \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}  \right\}, a więc ten iloczyn jest niepusty

Niech Y=X_{i} \hbox { gdzie }  n \ge i \ge 2

Ponieważ

X_{i-1}\in X_{i}, więc X_{i-1}\in X_{i} \cap  \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}  \right\}, a więc ten iloczyn jest niepusty

Pokazaliśmy że każdy iloczyn Y  \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}  \right\} gdzie Y\in   \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}  \right\} jest niepusty,

a więc takiego zbioru Y\in \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\} aby Y \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}= \varnothing nie ma. Sprzeczność \square :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 aksjomat regularności  Ewcia  4
 I aksjomat przeliczalności a wybór zstępującej bazy otoczeń  JakubCh  2
 Aksjomat indukcji zupełnej  Mariusz_Sw  1
 Aksjomat ekstensjonalności - równoważność zamist implikacji  Kalkulatorek  3
 Czerwony aksjomat- Planimetria- Zestaw XVII( o trojkatach)  janik  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl