szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 15:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 287
Cześć,mam coś takiego:

\lim_{n \to \infty}  \prod_{i = 1}^{n} ( 1 + x^{2 \cdot i - 1})

Jak obliczyć promień zbieżności tego iloczynu nieskończonego ??
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 15:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11474
Lokalizacja: Wrocław/Boston Maseczjusets
Chyba źle to napisałeś, inaczej taki zapis jest niepotrzebny, a zadanie jest bardzo proste. Czy nie chodziło Ci o
\lim_{n \to \infty} \prod_{i = 1}^{n} ( 1 + x^{2 \cdot i - 1})?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 18:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 287
Ta, poprawione ale pytanie nadal aktualne :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 20:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11474
Lokalizacja: Wrocław/Boston Maseczjusets
Niech A_{n}=\prod_{i = 1}^{n} ( 1 + x^{2 \cdot i - 1}). Założę dla wygody, że x \neq -1, dla x=-1 każdy czynnik jest zerem, więc iloczyn zbiega do zera, a nawet jest stale równy zero.
Gdy \left|  \frac{A_{n+1}}{A_{n}} \right|>1+\delta dla pewnego \delta>0 i dostatecznie dużych n, to mamy rozbieżność (pomyśl czemu). Stąd dla x\in (-\infty, -1) \cup [1,+\infty) otrzymujemy od razu rozbieżność. Dla x=-1 już napisałem co się dzieje, zaś dla x=0 mamy iloczyn jedynek, który niewątpliwie jest zbieżny do 1.
Dla x \in (0,1)
zauważmy, że granica istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica logarytmu tego iloczynu, czyli
gdy \sum_{i=1}^{ \infty } \ln\left( 1+x^{2i-1}\right) jest zbieżny. Oczywiście każdy wyraz takiej sumki jest dodatni, bo \ln y >0 dla y>1, a z góry możemy oszacować dzięki nierówności \ln(1+t) \le t i z kryterium porównawczego dostajemy dla x \in (0,1) istnienie skończonej
\lim_{n \to  \infty } \ln A_{n}, więc wystarczy skorzystać z ciągłości eksponenty.
Dla x \in (-1,0) po prostu zauważmy, że
0<1+x^{2i-1}<1+(-x)^{2i-1}
i stąd ze zbieżności w (0,1) wynika zbieżność w (-1,0).
Odpowiedź: promień zbieżności to 1, na brzegach zaś: w -1 zbieżny, w 1 rozbieżny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 20:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 287
czyli, że iloczyn ten jest zbieżny dla x \in <-1;1) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 20:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11474
Lokalizacja: Wrocław/Boston Maseczjusets
Zgadza się.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 20:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 287
Tak właśnie myślałem, a swoją drogą (bo nigdy nie miałem do czynienia na studiach z badaniem promienia zbieżności iloczynów nieskończonych) jestem zdziwiony złożonością tej odpowiedzi bo byłem przekonany, że dla iloczynów są jakieś analogiczne sposoby badania promienia zbieżności jak dla sum, a tu taka niespodzianka :P może dlatego właśnie nie znalazłem niczego o tym w internecie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 21:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11474
Lokalizacja: Wrocław/Boston Maseczjusets
Ja też nigdy się o tym nie uczyłem, stąd też zapewne złożoność tej odpowiedzi. Być może da się to zrobić dużo prościej.
Ten fragment:
Cytuj:
Gdy \left|  \frac{A_{n+1}}{A_{n}} \right|>1+\delta dla pewnego \delta>0 i dostatecznie dużych n, to mamy rozbieżność (pomyśl czemu).

to właściwie taki iloczynowy analogon kryterium d'Alemberta.
Natomiast gdy masz wyrazy dodatnie iloczynu, to zawsze można za pomocą logarytmu naturalnego przejść na szereg logarytmów i badać jego zbieżność przy ustalonym x tak, jak zbieżność szeregów liczbowych.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Promień zbieżności, przedział zbieżności, sumy  DDDanonek  5
 Ciąg funkcyjny - zadanie 11  Zbyszek92  6
 Iloczyn szeregów  Michocio  1
 obszar zbieżności i suma szeregu potęgowego - zadanie 2  rafalafar  4
 promień zbieżności - zadanie 14  axel33  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl