szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 15:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 283
Cześć,mam coś takiego:

\lim_{n \to \infty}  \prod_{i = 1}^{n} ( 1 + x^{2 \cdot i - 1})

Jak obliczyć promień zbieżności tego iloczynu nieskończonego ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 15:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10611
Lokalizacja: Wrocław
Chyba źle to napisałeś, inaczej taki zapis jest niepotrzebny, a zadanie jest bardzo proste. Czy nie chodziło Ci o
\lim_{n \to \infty} \prod_{i = 1}^{n} ( 1 + x^{2 \cdot i - 1})?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 18:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 283
Ta, poprawione ale pytanie nadal aktualne :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 20:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10611
Lokalizacja: Wrocław
Niech A_{n}=\prod_{i = 1}^{n} ( 1 + x^{2 \cdot i - 1}). Założę dla wygody, że x \neq -1, dla x=-1 każdy czynnik jest zerem, więc iloczyn zbiega do zera, a nawet jest stale równy zero.
Gdy \left|  \frac{A_{n+1}}{A_{n}} \right|>1+\delta dla pewnego \delta>0 i dostatecznie dużych n, to mamy rozbieżność (pomyśl czemu). Stąd dla x\in (-\infty, -1) \cup [1,+\infty) otrzymujemy od razu rozbieżność. Dla x=-1 już napisałem co się dzieje, zaś dla x=0 mamy iloczyn jedynek, który niewątpliwie jest zbieżny do 1.
Dla x \in (0,1)
zauważmy, że granica istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica logarytmu tego iloczynu, czyli
gdy \sum_{i=1}^{ \infty } \ln\left( 1+x^{2i-1}\right) jest zbieżny. Oczywiście każdy wyraz takiej sumki jest dodatni, bo \ln y >0 dla y>1, a z góry możemy oszacować dzięki nierówności \ln(1+t) \le t i z kryterium porównawczego dostajemy dla x \in (0,1) istnienie skończonej
\lim_{n \to  \infty } \ln A_{n}, więc wystarczy skorzystać z ciągłości eksponenty.
Dla x \in (-1,0) po prostu zauważmy, że
0<1+x^{2i-1}<1+(-x)^{2i-1}
i stąd ze zbieżności w (0,1) wynika zbieżność w (-1,0).
Odpowiedź: promień zbieżności to 1, na brzegach zaś: w -1 zbieżny, w 1 rozbieżny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 20:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 283
czyli, że iloczyn ten jest zbieżny dla x \in <-1;1) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 20:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10611
Lokalizacja: Wrocław
Zgadza się.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 20:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 283
Tak właśnie myślałem, a swoją drogą (bo nigdy nie miałem do czynienia na studiach z badaniem promienia zbieżności iloczynów nieskończonych) jestem zdziwiony złożonością tej odpowiedzi bo byłem przekonany, że dla iloczynów są jakieś analogiczne sposoby badania promienia zbieżności jak dla sum, a tu taka niespodzianka :P może dlatego właśnie nie znalazłem niczego o tym w internecie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2016, o 21:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10611
Lokalizacja: Wrocław
Ja też nigdy się o tym nie uczyłem, stąd też zapewne złożoność tej odpowiedzi. Być może da się to zrobić dużo prościej.
Ten fragment:
Cytuj:
Gdy \left|  \frac{A_{n+1}}{A_{n}} \right|>1+\delta dla pewnego \delta>0 i dostatecznie dużych n, to mamy rozbieżność (pomyśl czemu).

to właściwie taki iloczynowy analogon kryterium d'Alemberta.
Natomiast gdy masz wyrazy dodatnie iloczynu, to zawsze można za pomocą logarytmu naturalnego przejść na szereg logarytmów i badać jego zbieżność przy ustalonym x tak, jak zbieżność szeregów liczbowych.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Określ obszar zbieżności szeregu  wdsk90  1
 Przedział zbieżności szeregu potęgowego - zadanie 14  Dominik J  6
 badanie zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego  silencer  2
 Ciąg funkcyjny - zadanie 11  Zbyszek92  6
 Znaleźć dziedzinę i rozwiązać szereg funkcyjny  maniek88888  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl