szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2016, o 11:17 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Łódź
Mam pewne zadanie "wykaż, że" i męczę się z tym zadaniem już dobre 2 godziny i nadal nie mogę go rozwiązać.
Wykaż, że:
2= \sqrt{ \frac{11}{9}+ \frac{2 \cdot  \sqrt{2} }{3}  }+ \sqrt{ \frac{11}{9}- \frac{2 \cdot  \sqrt{2} }{3}  }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2016, o 11:26 
Użytkownik

Posty: 744
Lokalizacja: Warszawa
Wzory skroconego mnozenia, w pierwszym kwadrat sumy, a pod drugim pierwiastkiem kwadrat różnicy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2016, o 11:31 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Łódź
Już próbowałem ze wzorami skróconego mnożenia tylko nie jestem pewny czy dobrze to zacząłem, jak bym mógł prosić o to byś zapisał jak zacząć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2016, o 11:41 
Użytkownik

Posty: 450
Jak nie jesteś pewny czy dobrze to napisz i sprawdzimy, jak będzie źle to powiemy ci co trzeba zmienić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2016, o 11:48 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Łódź
Bo Milczek napisał że pod pierwszym pierwiastkiem napisać kwadrat sumy, a po drugim kwadrat różnicy, ale nie mam pojęcia jak zapisać to.
\sqrt{   \left( \frac{ \sqrt{11} }{3}  \right) ^{2} +   \left( \frac{ \sqrt[4]{8} }{ \sqrt{3} } \right)  ^{2}}
tak zapisałem ten pierwszy pierwiastek
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2016, o 11:53 
Użytkownik

Posty: 450
Nie zrozumiałeś o co mu chodziło
\frac{11}{9} + \frac{2 \sqrt{2} }{3} masz zapisać w postaci a ^{2} +2ab+b ^{2}
Pierwsza podpowiedz jest taka że \frac{11}{9} musisz rozpisać do jakiegoś a ^{2}  +b ^{2}
Druga jest taka:gdzieś w drugim czynniku (czyli b) musi się znajdować \sqrt{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2016, o 12:08 
Użytkownik

Posty: 1965
Lokalizacja: Warszawa
\frac{11}{9} + \frac{2 \sqrt{2} }{3} =  \frac{1}{9}\left( 11+6\sqrt2\right)  = \frac{1}{9}\left( a^2+2ab+b^2\right)  \\ \\ a^2+b^2 = 11 \\ 2ab=6\sqrt2

i stąd już łatwo zauważyć, ile wynosi a i b
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2016, o 12:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10237
Lokalizacja: Wrocław
Można również tak:
\sqrt{ \frac{11}{9}+ \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3} }+ \sqrt{ \frac{11}{9}- \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3} }=x
Ponieważ pierwiastki arytmetyczne parzystego stopnia są z definicji nieujemne, to zakładamy x\ge 0.
Podnosimy powyższą równość stronami do kwadratu i otrzymujemy:
\frac{11}{9}+  \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3}+2\sqrt{ \frac{11}{9}+ \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3} } \sqrt{ \frac{11}{9}- \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3} }+ \frac{11}{9}- \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3}=x^{2}
- wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
Następnie zapisujemy
\sqrt{ \frac{11}{9}+ \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3} } \sqrt{ \frac{11}{9}- \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3} } pod jednym pierwiastkiem i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
\sqrt{ \frac{11}{9}+ \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3} } \sqrt{ \frac{11}{9}- \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3} }= \sqrt{\left( \frac{11}{9}\right)^{2}- \left(\frac{2\cdot \sqrt{2}}{3}\right)^{2}  }=\\= \sqrt{ \frac{49}{81} }= \frac{7}{9}
Podstawiając tę równość do lewej strony równania
\frac{11}{9}+  \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3}+2\sqrt{ \frac{11}{9}+ \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3} } \sqrt{ \frac{11}{9}- \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3} }+ \frac{11}{9}- \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3}=x^{2},
dostajemy \frac{22}{9}+2\cdot  \frac{7}{9}=x^{2},
czyli x^{2}=4, a skoro x\ge 0, to mamy x=2, co mieliśmy pokazać.

Metoda znacznie mniej elegancka, ale pamiętam, że trochę czasu upłynęło, zanim zacząłem zauważać wzory skróconego mnożenia pod pierwiastkami, dlatego postanowiłem dodać jakąś alternatywę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2016, o 12:32 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
\frac{11}{9}+ \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3} = \left(1+ \frac{ \sqrt{2} }{3} \right)^2
\frac{11}{9}- \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3} = \left(1- \frac{ \sqrt{2} }{3} \right)^2

A jak jeszcze inaczej wpaść na to? Trzeba zauważyć, że te wyrażenia pod pierwiastkami mnożą się do \frac{49}{81} czyli \left(\frac{7}{9}\right)^2 i teraz podstawiając:
t= \sqrt{\frac{11}{9}+ \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3}} mamy \sqrt{\frac{11}{9}- \frac{2 \cdot \sqrt{2} }{3}}= \frac{7}{9t}
Teraz zakładając, że równość do udowodnienia jest prawdziwa, podstawiamy do niej i rozwiązujemy równanie kwadratowe względem t, czyli t^2-2t+ \frac{7}{9} =0. To tak jakby nie było innego pomysłu na wpadnięcie jak zwinąć te wyrażenia pod pierwiastkami.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Suma pierwiastków - zadanie 10  Ogorek00  1
 Suma pierwiastkow - zadanie 6  raitoningu  1
 Suma pierwiastków - zadanie 7  RCCK  1
 Suma pierwiastków - zadanie 4  pj666  5
 Suma pierwiastków - zadanie 5  somas3k  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl