szukanie zaawansowane
 [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2016, o 19:41 
Użytkownik

Posty: 13260
Lokalizacja: Bydgoszcz
Slup napisał(a):
Wszystko pomieszałeś. Spokojnie. Są trzy rodzaje zbieżności, które tutaj dyskutujemy.
1) zbieżność punktowa
2) zbieżność jednostajna czyli w normie \sup
3) zbieżność L^1
Teraz niech \{f_n\}_{n\in \NN} to będzie Twój ciąg. Wówczas:
1) \{f_n\}_{n\in \NN} zbiega punktowo do funkcji f takiej, że f(0)=1 oraz f(x)=0 dla x>0
2) \{f_n\}_{n\in \NN} nie zbiega jednostajnie
3) \{f_n\}_{n\in \NN} zbiega w normie L^1 do funkcji tożsamościowo równej zero czyli f(x)=0 dla każdego x\in [0,1]
Tak przedstawia się sytuacja. W szczególności wniosek z niej jest taki, że dany ciąg może w różnych topologiach zbiegać do różnych granic, a w jeszcze innych w ogóle nie zbiegać. Warto o tej lekcji pamiętać.


To wymaga jednak drobnego wyjaśnienia: otóż elementami przestrzeni L^1 nie sa funkcje, ale klasy funkcji: dwie funkcje należą do tej samej klasy jeżeli różnią sie od siebie na zbiorze miary zero.

Funkcja stale równa zero oraz funkcja, do której ten ciąg zbiega punktowo są z punktu widzenia przestrzeni L^1 tym samym (a raczej sa reprezentantami zera.) Ciężko zatem porównywać zbieżność reprezentantów ze zbieżnościa pojedynczych funkcji
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2016, o 19:50 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3884
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza & Warwick
a4karo napisał(a):
To wymaga jednak drobnego wyjaśnienia: otóż elementami przestrzeni L^1 nie sa funkcje, ale klasy funkcji: dwie funkcje należą do tej samej klasy jeżeli różnią sie od siebie na zbiorze miary zero.

Funkcja stale równa zero oraz funkcja, do której ten ciąg zbiega punktowo są z punktu widzenia przestrzeni L^1 tym samym (a raczej sa reprezentantami zera.) Ciężko zatem porównywać zbieżność reprezentantów ze zbieżnościa pojedynczych funkcji

Tutaj nie ma nikt na myśli przestrzeni L_1 a zbieżność w normie całkowej, nazywanej zbieżnością w L_1. Ergo, nawet gdybyśmy mówili o zbieżności elementów z L_1, to o ile klasy abstrakcji mają ciągłego reprezentata, to jest on jedyny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 maja 2016, o 15:08 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Warszawa
Wydaje mi się, że autor tematu miał po prostu problem ze zrozumieniem własnego pytania, co oczywiście nie jest żadną ujmą. W tym jednak kontekście nie uważałem za wskazane wspominanie o istnieniu przestrzeni L^1([0,1]), a już tym bardziej o tym, że składa się ona z klas funkcji, a nie samych funkcji. Po pierwsze nie ma to bezpośredniego związku z zadanym pytaniem. Po drugie mogłoby to doprowadzić tylko do tego, że autor pytania zgubiłby się jeszcze bardziej. Po trzecie, jak się ostatecznie okazuje, pytanie autora dotyczy tego, że przestrzeń (C([0,1]),||-||_{L^1}) nie jest zupełna, co jest motywacją do wprowadzenia jej uzupełnienia czyli L^1([0,1]), a motywacja powinna wyprzedzać to co motywuje. Po czwarte moja wypowiedź nie była nieprecyzyjna.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciąg funkcyjny.  _Mithrandir  0
 Ciąg funkcyjny - zadanie 4  max04  3
 ciąg funkcji ciągłych  Zordon  6
 dla jakich wartości m można utworzyć ciąg?  pan_x000  3
 ciąg funkcji ciągłych - zadanie 3  zana490  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl