szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 maja 2016, o 02:50 
Użytkownik

Posty: 344
Lokalizacja: Rzeszów
Aksjomat nieskończoności

Istnieje zbiór X taki że:

(1) \varnothing\in X

(2) Y\in X \rightarrow Y \cup \left\{ Y\right\} \in X

Każdy taki zbiór, spełniający te dwa warunki nazwiemy zbiorem induktywnym. Aksjomat nieskończoności mówi więc że istnieje co najmniej jeden zbiór induktywny

Taki zbiór X musi być nieskończony- mamy \varnothing\in X,

stosując (2) dla zbioru pustego, otrzymujemy że \left\{ \varnothing\right\}=\varnothing \cup \left\{ \varnothing\right\} \in X,

dalej stosując (2) dla \left\{ \varnothing\right\} otrzymujemy że \left\{ \varnothing,  \left\{ \varnothing\right\}\right\}=\left\{ \varnothing\right\}\cup \left\{ \left\{ \varnothing\right\}\right\} \in X

I dalej ponieważ \left\{ \varnothing,  \left\{ \varnothing\right\}\right\}\in X, więc stosując ponownie (2) dla tego zbioru otrzymujemy że \Bigl \{  \varnothing,  \left\{ \varnothing\right\}, \ \left\{ \varnothing,  \left\{ \varnothing\right\}\right\} \Bigr\}\in X

Itd.- taki zbiór musi być nieskończony

Jednak aksjomat nie nakłada ograniczeń górnych na ten zbiór. Najmniejszy z takich zbiorów będzie służył nam jako \NN Najpierw musimy udowodnić ze taki istnieje


Istnieje najmniejszy, względem inkluzji, zbiór induktywny

W dowodzie bardzo pomocny będzie poniższy lemat

Jeśli C jest niepustym zbiorem zbiorów induktywnych, to \bigcap C jest również zbiorem induktywnym

Dowód tego lematu jest raczej żmudny, i przedstawie go może później

Dowód twierdzenia :

Ustalmy zbiór induktywny X I rozważmy zbiór

Y=\left\{ A\in P\left( X\right): \  A \hbox{ jest induktywny } \right\}

Innymi słowy, rozważamy wszystkie podzbiory X induktywne

Taki zbiór Y jest niepusty, bo X \in Y, bo X z założenia jest induktywny

Y jest niepustym zbiorem zbiorów induktywnych, zatem na mocy lematu \bigcap Y jest również zbiorem induktywnym

Ten iloczyn podzbiorów X jest podzbiorem X i jest induktywny, zatem \bigcap Y \in Y

Ponieważ \bigcap Y jest podzbiorem każdego elementu Y,

więc \bigcap Y jest najmniejszym ( ze względu na inkluzję ) elementem Y, a więc \bigcap Y jest najmniejszym zbiorem induktywnym będącym podzbiorem X

Pokażemy, że w ogóle jest najmniejszy. W tym celu ustalmy dowolny zbiór induktywny Z

Z jest induktywny i X jest induktywny, zatem znowu stosując lemat Z \cap X jest induktywny

Niewątpliwie Z \cap X  \subset  Z

Oczywiście również Z \cap X \subset  X i Z \cap X jest induktywny, a skoro zaznaczyłem że \bigcap Y jest najmniejszym zbiorem induktywnym będącym podzbiorem X więc \bigcap Y   \subset Z \cap X  \subset Z Pokazaliśmy że \bigcap Y     \subset Z

Z dowolności wyboru zbioru induktywnego Z, \bigcap Y jest podzbiorem każdego zbioru induktywnego, a więc jest najmniejszym, w sensie inkluzji, zbiorem induktywnym \square :D

Taki zbiór jest tylko jeden. Gdyby istniały dwa najmniejsze zbiory induktywne ( względem inkluzji), to by się wzajemnie zawierały, zatem muszą być równe

Łatwo sprawdzić, że taki zbiór spełnia aksjomaty Peano liczb naturalnych, a więc może służyć jako \NN



Próba



Czas udowodnić lemat

Jeśli C jest niepustym zbiorem zbiorów induktywnych, to \bigcap C jest również zbiorem induktywnym

Dowód

Niech C będzie niepustym zbiorem zbiorów induktywnych

Pokażemy że \bigcap C jest również zbiorem induktywnym

Musimy pokazać dwa fakty

(1) \varnothing\in \bigcap C

(2) Y\in \bigcap C \rightarrow Y \cup \left\{ Y\right\} \in \bigcap C

Aby udowodnić punkt pierwszy, należy pokazać że zbiór pusty \varnothing jest elementem każdego zbioru A\in C

Niech A\in C Ponieważ C jest zbiorem zbiorów induktywnych, to A jest zbiorem induktywnym, a skoro tak to \varnothing\in A Pokazaliśmy że zbiór pusty jest elementem każdego zbioru A\in C, co należało pokazać


Aby udowodnić punkt drugi, niech Y\in \bigcap C

Oznacza to dokładnie tyle że Y\in A dla każdego zbioru A\in C

Niech A\in C, wnioskujemy że Y\in A Ponieważ jednak A\in C jest zbiorem induktywnym, więc Y \cup \left\{ Y\right\} \in A

Z dowolności wyboru zbioru A\in C otrzymujemy że Y \cup \left\{ Y\right\} jest elementem każdego zbioru A\in C, a to oznacza że Y \cup \left\{ Y\right\} \in \bigcap C Dowód drugiego punktu został zakończony

Zatem \bigcap C jest zbiorem induktywnym, co kończy dowód lematu :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przestrzenie topologiczne. Zbiory otwarte i domknięte.  Kmitah  0
 zbiory - zadanie 30  KITEgirl  1
 Zbiory i działania na nich.  mich12  1
 zbiory wartosc bezwzględna  Ankaaa993  3
 zbiory liczbowe - zadanie 4  esmeralda77  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl