szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2016, o 14:22 
Użytkownik

Posty: 5413
Lokalizacja: Kraków
Udowodnić, że jeżeli a_1 \geq a_2 \geq ... \geq a_n \geq a_{n+1}=0 to \sqrt{\sum_{j=1}^n  \ a_j} \leq  {\sum_{j=1}^n  \  \sqrt{j} (\sqrt{a_j} - \sqrt{a_{j+1}})
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2016, o 14:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9876
Lokalizacja: Wrocław
Wystarczy brutalna indukcja po n. Dla n=1 mamy
\sqrt{a_{1}} \le \sqrt{a_{1}} - a dokładniej zachodzi równość.

Teraz pokażemy, że jeśli dla pewnego n \in \NN i każdego układu liczb a_{1}\gea_{2}\ge \dots \ge a_{n}\ge a_{n+1}=0 zachodzi nierówność
\sqrt{\sum_{j=1}^n \ a_j} \leq {\sum_{j=1}^n \ \sqrt{j} (\sqrt{a_j} - \sqrt{a_{j+1}}),
to analogiczna nierówność zachodzi też dla dowolnego układu n+2 liczb spełniającego podobne założenia (a_{1}\ge a_{2}\ge \dots \ge a_{n+1}\ge a_{n+2}=0).

Weźmy taki układ liczb: wtedy
\sum_{j=1}^{n+1} \sqrt{j}\left( \sqrt{a_{j}}-\sqrt{a_{j+1}\right)=\\= \sum_{j=1}^{n} \sqrt{j}\left( \sqrt{a_{j}}-\sqrt{a_{j+1}\right)+ (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \sqrt{a_{n+1}} \ge \\ \ge(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{\sum_{j=1}^n \ a_j}
z założenia indukcyjnego.
Wystarczy zatem wykazać prawdziwość nierówności
(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{\sum_{j=1}^n \ a_j} \ge  \sqrt{ \sum_{j=1}^{n+1} a_{j} }
Ponieważ obie strony są nieujemne, to podnosimy stronami do kwadratu,
a następnie redukujemy i zostaje do wykazania:
(2n+1-2\sqrt{n}\sqrt{n+1})a_{n+1}+2 \left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \sqrt{a_{n+1}}\sqrt{\sum_{j=1}^n \ a_j} \ge a_{n+1}
Oczywiście gdy a_{n+1}=0, to nierówność ta jest spełniona, a w przeciwnym przypadku jest równoważna takiej:
2(n-\sqrt{n(n+1)})\sqrt{a_{n+1}}+2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{\sum_{j=1}^n \ a_j}  \ge 0
Ponieważ jednak a_{1}\ge a_{2}\ge \dots \ge a_{n}\ge a_{n+1},
to \sum_{j=1}^{n}a_{j}\ge n a_{n+1}, a pierwiastek kwadratowy jest rosnący w swojej dziedzinie, stąd
\sqrt{\sum_{j=1}^n \ a_j} \ge  \sqrt{n} \sqrt{a_{n+1}}.
Wobec tego mamy:
2(n-\sqrt{n(n+1)})\sqrt{a_{n+1}}+2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{\sum_{j=1}^n \ a_j} \ge \\ \ge 2(n-\sqrt{n(n+1)})\sqrt{a_{n+1}}+2(\sqrt{n(n+1)}-n)\sqrt{a_{n+1}}=0
co kończy drugi krok indukcyjny.

Wiem, że nad tym dowodem unosi się woń fekaliów, ale w matematyce najważniejsze jest
(zgadnijcie co), a to albo się ma, albo nie. Tertium non datur.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl