szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2016, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Opolskie
Udowodnij ze szereg jest jednostajnie zbiezny

f_{n}(x)= \frac{2x}{n^{ \frac{5}{4} }(n^{\frac{1}{2}}x^{4}+1)}

Myslalem ze bedzie tu sup dla x=1
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 cze 2016, o 20:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10093
Lokalizacja: Wrocław
Mamy
\left|\frac{2x}{n^{ \frac{5}{4} }(n^{\frac{1}{2}}x^{4}+1)} \right|= \frac{1}{n^{\frac 5 4}}\left|  \frac{2x}{n^{\frac{1}{2}}x^{4}+1} \right|= \frac{2}{n^{\frac 5 4}}  \frac{\left| x\right| }{n^{\frac 1 2}x^{4}+1}
Zauważmy, że gdy |x| \le 1, to \frac{\left| x\right| }{n^{\frac 1 2}x^{4}+1}
 \le  \frac{1}{n^{\frac 1 2}x^{4}+1} \le 1, zaś gdy
\left| x\right|>1, to n^{\frac 1 2}x^{4}+1>n^{\frac 1 2}x^{4} \ge x^{4}>|x|, a więc wówczas także mamy
\frac{\left| x\right| }{n^{\frac 1 2}x^{4}+1} \le 1 (a nawet zachodzi ostra nierówność).
Zatem możemy tak zmajoryzować:
\sum_{n=1}^{ \infty } \left|\frac{2x}{n^{ \frac{5}{4} }(n^{\frac{1}{2}}x^{4}+1)} \right| \le  \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n^{\frac 5 4}}
Ten ostatni szereg jest oczywiście zbieżny (można to wykazać np. z kryterium kondensacyjnego, ale to raczej znane), więc z kryterium Weierstrassa otrzymujemy zbieżność jednostajną szeregu
\sum_{n=1}^{ \infty } f_{n}(x)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadaj zbieżność szeregu...  mm34639  3
 Zbieznosc szeregu potegowego  haxo  5
 Zbieznosc szeregu funkcyjnego  Gnomek  0
 Zbieżność jednostajna szeregu  kej.ef  0
 zbieznosc jednostajna i zwykla: roznica.  Aram  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl