szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2016, o 23:42 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Siedlce
Witam.
Zmagam sie ostatnio z takim problemem, a mianowicie szukam zastosowan zbieznosci jednostajnej szeregow funkcyjnych. Jest to moj temat pracy licencjackiej. Mozna powiedziec, ze wkopalem sie w temat trudny dla mnie i teraz sie mecze.
Korzystam z ksiazki Fichtenholza i Knoppa ale to troche za malo do bibliografii.
Dlatego prosze o pomoc. O jakas wskazowke, rade, moze ksiazke, artykul, moze podanie zastosowania. Przyda sie wszystko.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2016, o 02:12 
Użytkownik

Posty: 322
Lokalizacja: Toruń
Zbieżność jednostajna przydaje się do badania wartości szeregów liczbowych. Jest wiele przykładów, w których aby obliczyć wartość jakiegoś szeregu liczbowego, korzysta się z szeregu potęgowego lub Fouriera, bada odpowiednią zbieżność i wysnuwa konsekwencje.
Na przykład liczy się wartość szeregu \sum_{k=0}^\infty (-1)^n\frac 1n (używa się szeregu potęgowego). Zobacz też tu: 407996.htm (szereg Fouriera).

Można uderzyć też w tę (wg mnie bardzo ciekawą!) stronę:
Jak definiuje się funkcje sinus i kosinus? Geometrycznie (stosunek y/r,x/r, gdzie r=\sqrt{x^2+y^2}. Ale korzysta się z pojęcia miary kąta liczonej w radianach. Tylko że aby zdefiniować taką miarę, musimy umieć liczyć długość łuków okręgu. A skąd wiemy, że okrąg jest prostowalny? A potem wyprowadza się wzór \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1 też z geometrycznych rozważań. A z tego wzoru wyprowadza się wzór na pochodną funkcji sinus. Potem to wykorzystujemy, by wyprowadzić szereg innych wzorów, które dają nam ostatecznie wzór na długość łuku. Wszystko stoi na głowie.
Znacznie lepiej jest to zrobić przy użyciu szeregów potęgowych
S(x)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},, C(x)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!},.
Korzystając ze zbieżności jednostajnej dostaje się ciągłość funkcji S i C. Korzystając z iloczynu Cauchy'ego oraz również z jednostajnej zbieżności (jedno z założeń iloczynu C.) dostaje się wszelkie wzory trygonometryczne, z których wynika, że funkcje te są 2\pi-okresowe (wartość \pi/2 definiuje się jako najmniejsze dodatnie miejsce zerowe funkcji C). Dostaje się też jedynkę trygonometryczną: S^2(x)+C^2(x)=2, z czego wynika, że x\mapsto (S(x),C(x)) jest parametryzacją okręgu, którą można użyć do wyznaczenia długości łuku okręgu.
To podejście jest pokazane na początku książki Rudina (Analiza rzeczywista i zespolona, jakoś tak).

Inne zastosowanie: definicja wielu funkcji (tak, jak powyżej S,C) wykorzystuje ciągi/szeregi funkcyjne i zbieżność jednostajna jest potrzebna, aby dowieść ciągłości funkcji.
Możesz zainteresować się funkcją Diabelskie schody (przykład funkcji monotonicznej, ale nie jednostajnie ciągłej, której pochodna jest p.w. równa 0) oraz dowodem twierdzenia Tietzego, a także krzywą Peano.

Samo to, co napisałem, wystarczy na pracę licencjacką.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2016, o 10:25 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7481
Lokalizacja: Wrocław
M Maciejewski napisał(a):
Możesz zainteresować się funkcją Diabelskie schody (przykład funkcji monotonicznej, ale nie jednostajnie ciągłej, której pochodna jest p.w. równa 0)

Diabelskie schody są jednostajnie ciągłe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2016, o 10:46 
Użytkownik

Posty: 322
Lokalizacja: Toruń
Dasio11 napisał(a):
M Maciejewski napisał(a):
Możesz zainteresować się funkcją Diabelskie schody (przykład funkcji monotonicznej, ale nie jednostajnie ciągłej, której pochodna jest p.w. równa 0)

Diabelskie schody są jednostajnie ciągłe.


O kurka flaszka, chciałem napisać, absolutnie ciągłe (po to pisałem o tych pochodnych). :) Dzięki za uwagę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 cze 2016, o 01:18 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Siedlce
Na początku mojej pracy chciałbym przedstawić troszkę historii zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych. Poleci ktoś jakąś ciekawą pozycję? Wolę zdecydowanie książki niż internet. W dodatku będę miał co wpisać w bibliografię ;) Słabo mi wychodzi szukanie tego co potrzeba i schodzi się niesamowicie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz obszar zbieżności punktowej szeregu - szereg z ln(n)  januszekm3  3
 Badanie zbieżności całki - zadanie 2  Kerkyros  1
 Badanie zbieżności szeregu - zadanie 27  tadek667  3
 Promień zbieżności, przedział zbieżności szeregu potęgowego  patlas  3
 Wyznaczyć przedział zbieżności - zadanie 2  lukaszek1234567890  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl