szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2016, o 16:54 
Użytkownik

Posty: 137
Lokalizacja: Polska
Definiujemy funkcję f : \RR \rightarrow \RR wzorem f(x) = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin (nx)}{n^{3} + x^{2}}, dla x \in \RR.
Wyjaśnij dlaczego ta definicja jest poprawna. W jakich punktach x \in \RR funkcja f jest ciągła, a w jakich jest różniczkowalna?
Jeśli f'(0) istnieje, to zbadaj, czy f'(0) \in (0; \frac{13}{10})

Jakieś wskazówki jak to zrobić? Kiedy wgl funkcja jest ciągła, a kiedy różniczkowalna?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 4 cze 2016, o 17:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10091
Lokalizacja: Wrocław
Mamy \left|\frac{\sin (nx)}{n^{3} + x^{2}} \right| \le \frac{1}{n^{3}+x^{2}} \le \frac{1}{n^{3}}, zaś szereg liczbowy
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{3}} jest zbieżny.
Z kryterium Weierstrassa wynika więc, że \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin (nx)}{n^{3} + x^{2}} jest jednostajnie zbieżny i można skorzystać z twierdzenia mówiącego, że granica jednostajna ciągu funkcji ciągłych jest ciągła.
A sumy \sum_{n=1}^{N} \frac{\sin (nx)}{n^{3} + x^{2}} to sumy ilorazów funkcji ciągłych i mianowniki nie zerują się nigdzie w \RR.

-- 4 cze 2016, o 16:09 --

A różniczkowalność? Nie wiem, może z definicji...
Albo sprawdź, w jakich punktach \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{d}{dx}\left( \frac{\sin (nx)}{n^{3} + x^{2}} \right) jest jednostajnie zbieżny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2016, o 17:22 
Użytkownik

Posty: 137
Lokalizacja: Polska
czyli f'(x) =  \sum_{n = 1}^{ \infty }  \frac{ncos(nx)(n^{3} + x^{2}) - 2xsin(nx)}{(n^{3} + x^{2})^{2}}
f'(0) =  \sum_{n = 1}^{ \infty }  \frac{n^{4}}{n^{6}}  = \sum_{n = 1}^{ \infty }  \frac{1}{n^{2}}

suma pierwszych pięciu czynników jest większa już od 13/10 więc nie mieści się w podanym przedziale.

Nie wiem jednak jak dowieść różniczkowalności
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 4 cze 2016, o 17:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10091
Lokalizacja: Wrocław
Tak raczej nie powinieneś zapisywać, bo wygląda to tak, jakbyś różniczkował f w celu udowodnienia, że jest ona różniczkowalna, czyli że możesz to zrobić... Ale to może detal.

Mamy \sum_{n = 1}^{ \infty }\left| \frac{n \cos(nx)(n^{3} + x^{2}) - 2x \sin(nx)}{(n^{3} + x^{2})^{2}}\right| \le ...
Spróbuj ponownie zastosować kryterium Weierstrassa. Wskazówki:
w liczniku zastosuj nierówność trójkąta, następnie moduł sinusa i cosinusa możesz szacować z góery przez jedynki, zaś łatwo wykazać nierówności:
\frac{n(n^{3}+x^{2})}{(n^{3}+x^{2})^{2}} \le  \frac{1}{n^{2}}   \\  \frac{2|x|}{(n^{3}+x^{2})^{2}} \le  \frac{1}{n^{3}}
dla n \in \NN^{+}.
Jeżeli szereg \sum_{n=1}^{ \infty } f_{n}'(x) jest jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji g, to zważywszy na to, że f= \sum_{n=1}^{ \infty } f_{n}(x) jest ciągła otrzymujemy różniczkowalność w \RR.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2016, o 18:21 
Użytkownik

Posty: 137
Lokalizacja: Polska
a wracając jeszcze do tej ciągłości, to nie bardzo rozumiem tej ciągłości granicy. \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{sin(nx)}{n^{3} + x^{2}} jest granicą?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 4 cze 2016, o 18:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10091
Lokalizacja: Wrocław
Tak. Z kryterium Weierstrassa wynika jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{sin(nx)}{n^{3} + x^{2}},
czyli jednostajna zbieżność ciągu sum częściowych tego szeregu
S_{N}(x)=\sum_{n=1}^{N } \frac{sin(nx)}{n^{3} + x^{2}}
do sumy tego szeregu, czyli do f.
Dla każdego N naturalnego S_{N}(x) są ciągłe w \RR jako skończone kombinacje funkcji ciągłych w \RR. Skoro f jest granicą jednostajną tych sum częściowych - czyli granicą jednostajną ciągu funkcji ciągłych - to f jest ciągła w \RR.
Krótki dowód tego twierdzenia masz tutaj:
https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_limit_theorem
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ciągłość, różniczkowalność funkcji  Kocurka  8
 Zbieżność jednostajna do funkcji granicznej  roman_g  2
 Rozwiniecie wzoru Maclaurina dla funkcji tangens  Veldrin  7
 ciągłośc jednostajna  Żabcia  0
 Pytanie: Rozwijanie funkcji w szereg - opis metody  Simone8  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl