szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Oblicz granicę
PostNapisane: 4 cze 2016, o 19:26 
Użytkownik

Posty: 137
Lokalizacja: Polska
Oblicz \lim_{n \to  \infty }  \frac{2e}{n} \sum_{k=1}^{n}(1 +  \frac{4k}{n} +  \frac{4k^{2}}{n^{2}})e^{ \frac{2k}{n} } lub wykaż, że ta granica nie istnieje.

próbowałem rozwinąć e^{ \frac{2k}{n}} i oszacować szereg z dołu przez \frac{2e}{n} \sum_{k=1}^{n}(1 +  \frac{2k}{n} +  \frac{2k^{2}}{n^{2}})^{2} a z góry przez \frac{2e}{n} \sum_{k=1}^{n}(1 +  \frac{4k}{n} +  \frac{4k^{2}}{n^{2}})^{2} ale bez skutku. Jakaś wskazówka jak to rozwiązać?
Góra
Mężczyzna Online
 Tytuł: Oblicz granicę
PostNapisane: 4 cze 2016, o 19:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10098
Lokalizacja: Wrocław
Być może warto spostrzec, że 1+ \frac{4k}{n}+ \frac{4k^{2}}{n^{2}}=\left(1+ \frac{2k}{n}  \right)^{2}
Mnie taka suma:
\frac{2}{n}  \sum_{k=1}^{n}(1 + \frac{4k}{n} + \frac{4k^{2}}{n^{2}})e^{ \frac{2k}{n} } przypomina sumy Riemanna dla funkcji
f(x)=(1+x)^{2}e^{x} na przedziale [0,2] (punkty podziału \frac{2k}{n}, n \ge k\ge 1 i bierzemy wartości funkcji f w prawych końcach tych przedzialików). Zatem granica
\lim_{n \to  \infty }\frac{2}{n}  \sum_{k=1}^{n}(1 + \frac{4k}{n} + \frac{4k^{2}}{n^{2}})e^{ \frac{2k}{n} }= \int_{0}^{2}(1+x)^{2}e^{x}dx,
toteż Twoja granica to
e \cdot \int_{0}^{2}(1+x)^{2}e^{x}dx

Trzeba tylko uzupełnić szczegóły teoretyczne: średnice tych kawałków, na które dzielimy odcinek dążą do zera, funkcja f jest ciągła na tym przedziale itd.

-- 4 cze 2016, o 18:44 --

Przepraszam punkty podziału to są tylko dla n-1\ge k\ge 1, ten ostatni punkt to przecież prawy koniec całego przedziału.

-- 4 cze 2016, o 18:47 --

W zasadzie to ciągłość chyba nie jest konieczna. Wystarczy zdaje się, że będzie ograniczona na tym odcinku i
nieciągła w co najwyżej przeliczalnie wielu punktach. Ale to lepiej sprawdź, nie pamiętam już tej całej teorii, więc lepiej nie wierzyć mi na słowo.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 oblicz granice - zadanie 40  robin5hood  3
 Oblicz granice  Aram  7
 Oblicz granicę  Anonymous  3
 Oblicz granice - zadanie 2  waski  7
 Oblicz granice - zadanie 3  wojteka  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl