szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 cze 2016, o 09:33 
Użytkownik

Posty: 30
Niech funkcja f\colon \RR  \rightarrow  \RR spełnia warunek
|f(x+y+z)+f(x+y-z)+f(x-y+z)+f(x-y-z)-\\-4f(x)-4f(y)-4f(z)|  \le \varepsilon,\ \  x,y,z \in \RR
dla pewnego \varepsilon >0. Pokazać, że istnieje dokładnie jedna taka funkcja kwadratowa Q \colon \RR  \rightarrow \RR, że
|f(x)-Q(x)| \le \frac{5}{8} \varepsilon,\ \ x\in \RR.

Należy skorzystać z twierdzenia:
Jeśli funkcja f\colon \RR \rightarrow \RR spełnia nierówność
|f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-2f(y)| \le \delta
dla każdych x,y \in \RR i pewnego \delta >0, to istnieje dokładnie jedna funkcja kwadratowa q \colon \RR \rightarrow \RR taka, że
|f(x)-q(x)| \le \frac{\delta}{2}

Próbowałam to jakoś rozwiązać, ale nic mi z tego nie wyszło
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2016, o 10:34 
Użytkownik

Posty: 322
Lokalizacja: Toruń
Jeśli podstawimy y=z=0, to dostaniemy, że
|f(0)|\leq\frac \varepsilon 8.
Teraz, jeśli podstawimy z=0, to dostaniemy, że dla wszystkich x,y zachodzi
|f(x+y)+f(x+y)+f(x-y)+f(x-y)-4f(x)-4f(y)-4f(0)| \leq \varepsilon, czyli
|f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-2f(y)-2f(0)| \leq \frac \varepsilon 2.
Stąd |f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-2f(y)| \leq \frac \varepsilon 2+ |2f(0)|\leq \frac 34\varepsilon.

Stąd, z lematu, dostajemy funkcję kwadratową q, taką że |f(x)-q(x)|\leq \frac 38\varepsilon.

Hmm, wyszła mniejsza stała. Może gdzieś popełniłem błąd.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ograniczoność funkcji. Nierówność na kresach.  reksiak  0
 nierówność Jensena  Mapedd  1
 Udowodnic nierównoSC - zadanie 2  marcin111  5
 rozwiąz nierówność  prezio1988  3
 rozwiązać nierówność - zadanie 2  ami88  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl