szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2016, o 13:00 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Poznan
Mam zadanie oblicz: \sin \frac{1}{5} z dokłądnościa 0,0001 posługując się rozwinięciem \sin x w szeregu potęgowym.

Nie mam pojęcia jak się za to zabrać, znalazłem coś co sugeruje żeby żyć szeregu Taylora?

Następnie mam też oblicz \sqrt{30} z dokłądnością 0,001 posługując sie równaniem funkcji f(x)= (1+x)^{2} w szeregu potęgowym.

Prosze o jakieś wskazówki, lub informacje jaki materiał ogarnąć żeby coś zacząć z tym robić :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 cze 2016, o 08:28 
Użytkownik

Posty: 322
Lokalizacja: Toruń
Wykorzystajmy twierdzenie Taylora dla funkcji sinus w punkcie 0 z resztą w postaci możliwej do oszacowania. Najlepiej chyba w postaci Lagrange'a.

Otrzymamy wzór: \sin x=w_n(x) + r_n(x), gdzie w_n to pewien wielomian stopnia niewiększego niż n, natomiast r_n to n-ta reszta w postaci Lagrange'a.

Zatem |\sin x-w_n(x)|=|r_n(x)|.

Jeśli potrafimy oszacować wartość |r_n(x)| dla |x|\leq\frac 15, to jesteśmy w domu.

Wyjdzie coś takiego: |r_n(x)|\leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}= \frac{1}{5^{n+1}\cdot (n+1)!}=:\alpha_n (pochodne sinusa dowolnego rzędu są to \pm sin,\pm\cos, a więc są ograniczone przez 1.

Teraz należy wyznaczyć takie n, aby \alpha_n<0,0001. Dla takiego n, różnica między \sin\frac 15 a w_n(1/5) będzie mniejsza niż zadana dokładność, więc będzie ok.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Roziwnac w szereg potegowy  mikolajjgn  3
 rozwiniecie w szereg Laurenta - zadanie 8  boski_login  0
 Szereg Fouriera, suma szeregu  Django  1
 Rozwinięcie funkcji w szereg - zadanie 9  Intech  1
 Szereg Fouriera - zadanie 62  Rhaesas  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl