szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 cze 2016, o 20:59 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: warszawa
Witam, proszę o pomoc przy poniższym zadaniu

Policz funkcję tworzącą ciągu a _{n}= \frac{1}{n!}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 cze 2016, o 21:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13140
Lokalizacja: Wrocław
Wystarczy wiedzieć, że
\sum_{n=0}^{+\infty}  \frac{1}{n!} x^{n}=e^{x}
(czasami nawet tak się definiuje e^{x}).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 cze 2016, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: warszawa
a czegoś takiego
d_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n} .
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 cze 2016, o 22:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13140
Lokalizacja: Wrocław
Niezły skok poziomu trudności.
Proponuję coś takiego:
\sum_{n=1}^{+\infty}d_{n}x^{n}= \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^{n}\left(x^{n} \int_{0}^{1}t^{k-1}\mbox{d}t \right)= \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{n=k}^{+\infty}\left(x^{n} \int_{0}^{1}t^{k-1}\mbox{d}t \right)=\\= \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\int_{0}^{1}t^{k-1}\mbox{d}t\right) \sum_{n=k}^{+\infty}x^{n}= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \frac{x^{k}}{1-x}
Dalej mamy A(x)= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \frac{x^{k}}{1-x}= \frac{1}{1-x} \sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1k x^{k}.

Z całkowania wyraz po wyrazie (które możemy wykonywać wewnątrz przedziału zbieżności) wynika zaś, że
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1 k x^{k}= \sum_{k=1}^{+\infty} \int_{0}^{x}t^{k-1}\mbox{d}t= \int_{0}^{x}\left( \sum_{k=1}^{+\infty}t^{k-1}  \right)\mbox{d}t=-\ln(1-x)
Stąd odpowiedź to - \frac{\ln(1-x)}{1-x}
Uff... Pewnie da się prościej, ale ja jestem słaby z matematyki, więc nie potrafię prościej.

-- 8 cze 2016, o 22:42 --

Aha, oczywiście ta zmiana kolejności sumowania, podobnież jak całkowanie i różniczkowanie wyraz po wyrazie, może się odbywać tylko w pewnych określonych warunkach. Ale wewnątrz przedziału zbieżności to działa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 cze 2016, o 22:49 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: warszawa
Premislav napisał(a):
Uff... Pewnie da się prościej, ale ja jestem słaby z matematyki, więc nie potrafię prościej.

Nie dołuj mnie :)

nie bardzo zrozumiałem pierwszą część Twojego rozwiązania ale przynajmniej mniej więcej wiem skąd pojawił częściowy zapis ze wskazówki jaką miałem
D\!\left( x \right) =\frac{C\!\left( x \right)}{1-x} =-\frac{\ln{\left( 1-x \right)}}{1-x} =\frac{\ln{\left( 1-x \right)}}{x-1}.

gdzie C(x) wcześniej wyliczałem i była to funkcji tworząca c_n=\frac{1}{n}

Dzięki, trochę zaczynam łapać funkcję tworzące
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 cze 2016, o 23:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13140
Lokalizacja: Wrocław
Właściwie to można wyjaśnić, że te całki na początku są tylko dla ozdoby (bo one mnie podniecają), dopiero tam, gdzie korzystam z całkowania wyraz po wyrazie, mają one jakieś praktyczne znaczenie.

Można by ten początek inaczej zapisać tak:
\sum_{n=1}^{+\infty}d_{n}x^{n}= \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{x^{n}}{k}  \right)= \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{n=k}^{+\infty}\left(\frac{x^{n}}{k}\right)=\\= \sum_{k=1}^{+\infty}  \frac{1}{k} \sum_{n=k}^{+\infty}x^{n}= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \frac{x^{k}}{1-x}

Prościej? :)

O co chodzi: w pierwszym przejściu pod zewnętrzną sumą zapisuję
\left( 1+...+\frac 1 n\right) x^{n} po prostu jako
x^{n}+...+ \frac{x^{n}}{n} - zwykła rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Następnie kluczowa rzecz: zmieniam kolejność sumowania (jeśli miałeś rachunek całkowy, to to jest taki dyskretny odpowiednik zmiany kolejności całkowania właśnie). Zamiast najpierw (wewnętrzna suma) sumować po k, a potem (zewnętrzna) po n, najpierw sumuję po n, a potem po k. Skoro 1\le n <\infty, zaś przy ustalonym n indeks k zmienia się od 1 do n, to patrząc na to z drugiej strony, mamy, że 1\le k \le \infty, a przy ustalonym k indeks n rośnie od n=k.
Nie zawsze można wykonać taką zmianę kolejności sumowania, w tym momencie nie mam pod ręką kontrprzykładu, ale dość, że z tym trzeba trochę uważać.

Dalej z tym \sum_{n=k}^{+\infty} x^{n} to po prostu wzór na sumę szeregu geometrycznego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 cze 2016, o 04:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6635
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Ciąg sum częściowych ciągu a_{n}=\frac{1}{n+1} (zakładając że sumujemy od zera)


s_{n}=s_{n-1}+a_{n}\\
S\left( x\right)= \sum_{n=1}^{ \infty }{s_{n}x^n}
\sum_{n=1}^{ \infty }{s_{n}x^n} = \sum_{n=1}^{ \infty }{s_{n-1}x^n}+ \sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^n}  \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^n}-s_{0}=x\sum_{n=1}^{ \infty }{s_{n-1}x^{n-1}}+\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-a_{0}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^n}-s_{0}=x\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}+\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-a_{0}\\
S\left( x\right)-a_{0}=xS\left( x\right)+A\left( x\right)-a_{0}\\
S\left( x\right)\left( 1-x\right)=A\left( x\right)\\
S\left( x\right)=\frac{A\left( x\right) }{1-x}

Funkcję tworzącą ciągu \frac{1}{n+1}
możesz znaleźć rozwijając w szereg Taylora \ln{\left| 1-x\right| }
albo całkując szereg geometryczny
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 cze 2016, o 13:02 
Użytkownik

Posty: 69
Lokalizacja: warszawa
Premislav napisał(a):
Właściwie to można wyjaśnić, że te całki na początku są tylko dla ozdoby (bo one mnie podniecają), dopiero tam, gdzie korzystam z całkowania wyraz po wyrazie, mają one jakieś praktyczne znaczenie.

Można by ten początek inaczej zapisać tak:
\sum_{n=1}^{+\infty}d_{n}x^{n}= \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{x^{n}}{k}  \right)= \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{n=k}^{+\infty}\left(\frac{x^{n}}{k}\right)=\\= \sum_{k=1}^{+\infty}  \frac{1}{k} \sum_{n=k}^{+\infty}x^{n}= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \frac{x^{k}}{1-x}

Prościej? :)

O co chodzi: w pierwszym przejściu pod zewnętrzną sumą zapisuję
\left( 1+...+\frac 1 n\right) x^{n} po prostu jako
x^{n}+...+ \frac{x^{n}}{n} - zwykła rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Następnie kluczowa rzecz: zmieniam kolejność sumowania (jeśli miałeś rachunek całkowy, to to jest taki dyskretny odpowiednik zmiany kolejności całkowania właśnie). Zamiast najpierw (wewnętrzna suma) sumować po k, a potem (zewnętrzna) po n, najpierw sumuję po n, a potem po k. Skoro 1\le n <\infty, zaś przy ustalonym n indeks k zmienia się od 1 do n, to patrząc na to z drugiej strony, mamy, że 1\le k \le \infty, a przy ustalonym k indeks n rośnie od n=k.
Nie zawsze można wykonać taką zmianę kolejności sumowania, w tym momencie nie mam pod ręką kontrprzykładu, ale dość, że z tym trzeba trochę uważać.

Dalej z tym \sum_{n=k}^{+\infty} x^{n} to po prostu wzór na sumę szeregu geometrycznego.


teraz wszystko zrozumiałem, wielkie dzięki :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja tworząca ciągu  cesarks  2
 Funkcją tworząca ciągu  paluch102  5
 Funkcja tworząca ciągu - zadanie 2  heux  2
 Funkcja tworząca ciągu - zadanie 3  czarny1989  1
 Funkcja tworząca ciągu - zadanie 4  Spoon20  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl