szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 cze 2016, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Kielce
Udowodnić bezwzględną i jednostajną zbieżność szeregu:

\varphi (z) = \frac {1}{z^{2}} + \sum_{k=1}^{ \infty } \left[  \frac {1}{(z- w_{k})^{2}} - \frac {1}{(w_{k})^{2} } \right], gdzie w_{k}=n \omega + n'w'

Dowód:
Weźmy funkcję mającą w punktach zerowych w_{0}, w_{1}, w_{2} funkcji Weierstrassa bieguny dwukrotne o części głównej:

g _{k}(z) =\frac {1}{(z-w_{k})^{2}}

w biegunie w_{k}. Zakładam, że w_{0}=0, więc \left| w_{k}\right|>0 dla k>0

Niech w_{k}(z)= \frac {1}{ w_{k}^{2} } dla k>0
W kole \left| z\right|  \le  \frac {1}{2}  w_{k} mamy \left| z- w_{k} \right|  \ge \frac {1}{2}  w_{k}, więc

\left|  g_{v}(z) -  w_{k}(z)  \right| =\left| \frac {1}{(z - w_{k})^{2}} - \frac {1}{(w_{k})^{2}}   \right|  =  \left| \frac {2z w_{k}-z^{2} }{ w_{k}^{2}(z- w_{k)^{2}}  }\right|  \le  \frac{4\left| z\right| (2\left|  w_{k} \right| + \left| z \right|)}{\left|  w_{k} \right|^{4} }  \le  \frac{10\left| z \right| }{\left|  w_{k} \right|^3 }

Nierówność ta zachodzi w dowolnym kole \left| z\right|  \le R dla prawie wszystkich k, bo w_{k} \rightarrow  \infty. Zatem szereg \sum_{1}^{ \infty } \left|  g_{k}(z) -  w_{k}(z)  \right| po odrzuceniu skończonej ilości wyrazów jest jednostajnie zbieżny w każdym kole \left| z\right|  \le R, bo szereg \sum_{v=1}^{ \infty }  \left| \frac {1}{ w_{k} }\right|^{3} jest zbieżny.

Czy taki dowód jest poprawny?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadaj zbieżność szeregu...  mm34639  3
 x0 w obliczaniu zbieznosci szeregu potegowego  Naiya  2
 Zbieznosc szeregu potegowego  haxo  5
 Zbieznosc szeregu funkcyjnego  Gnomek  0
 Zbieżność jednostajna szeregu  kej.ef  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl