szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 cze 2016, o 09:14 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Kraków
Jak obliczyć coś takiego:

a) \lim_{x \to 0+} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x}{1+x^2n^2}

b) \lim_{x \to 0+} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin x}{4+x^4n^4}

Ograniczać jakoś z dwóch stron?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 cze 2016, o 12:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10644
Lokalizacja: Wrocław
Jak na moje oko ograniczenia to zdecydowanie zbyt słabe narzędzie, chyba że akurat jesteś jakimś nadczłowiekiem i masz kosmiczny pomysł.
Zauważyłem, że w a) można podstawić t= \frac{1}{x}, co sprowadzi nasz problem do policzenia \lim_{t \to  \infty  } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{t}{n^2+t^2}= \lim_{t \to  \infty }t \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2+t^2}
Wówczas można wykończyć to zadanie z użyciem tego: 407996.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 cze 2016, o 12:43 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Kraków
Ok, bardzo dziękuję ;)
A b) może ograniczyć i tak samo potraktować?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 cze 2016, o 13:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10644
Lokalizacja: Wrocław
W b) ja bym zaczął od tego, że \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin x}{x}=1, więc z twierdzenia o granicy iloczynu wynika, że wystarczy nam policzenie
\lim_{x \to 0^{+}}  \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x}{4+n^4 x^4}
Następnie podstawienie t= \frac{\sqrt{2}}{x} sprowadza to zagadnienie do obliczenia
\lim_{t \to  \infty } \frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{t}{n^4+t^4}
Ale na razie nie wiem, co z tym dalej zrobić. :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 cze 2016, o 17:43 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7493
Lokalizacja: Wrocław
(a) Da się bez wyliczania wzoru jawnego. Szkic:

Ustalmy x > 0. Rozważmy funkcję f : [0, \infty) \to \RR:

f(t) = \frac{1}{1+t^2},

oraz podział przedziału [0, \infty) punktami t_n = nx. Wtedy nasza suma staje się sumą całkową:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{1+n^2x^2} = \sum_{n=1}^{\infty} f( t_n ) \cdot (t_n - t_{n-1})

odpowiadającą całce

\int \limits_0^{\infty} f(t) \, \dd t,

zatem

\lim_{x \to 0^+} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{1+n^2x^2} = \int \limits_0^{\infty} \frac{1}{1+t^2} \, \dd t = \frac{\pi}{2}.


Punkt (b) można tak samo.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 granica szeregu potęgowego  Popescu  2
 Zbadaj zbieżność szeregu...  mm34639  3
 x0 w obliczaniu zbieznosci szeregu potegowego  Naiya  2
 Zbieznosc szeregu potegowego  haxo  5
 Zbieznosc szeregu funkcyjnego  Gnomek  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl