szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 cze 2016, o 12:42 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Dla rzeczywistych x zbadac zbieżność szeregu:
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2^{2n}+x^{n}}{2^{n}+3^{2n}} \right)
Próbuje zrobić to ze kryterium Cauchy'ego(wyciągając x^{n} z licznika i 9^{n} z mianownika przed nawias) , ale nie mam zbytnio pomysłu co dalej.
\lim_{n\to\infty} \left( \sqrt[n]{\frac{2^{2n}+x^{n}}{2^{n}+3^{2n}}} \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 cze 2016, o 13:42 
Użytkownik

Posty: 322
Lokalizacja: Toruń
Niech a_n:=\left| \frac{2^{2n}+x^{n}}{2^{n}+3^{2n}} \right|
Jeśli |x|\leq 4, to

=\sqrt[n]{a_n}=\frac 49 \sqrt[n]{\left| \frac{1+ \left(\frac x4\right)^n}{\left(\frac 29\right)^n+1} \right| }\to\frac 49<1,
a zatem jest zbieżność.

Jeśli |x|> 4, to

=\sqrt[n]{a_n}=\frac {|x|}9 \sqrt[n]{\left| \frac{\left(\frac 4x\right)^n+1}{\left(\frac 29\right)^n+1} \right| }\to\frac {|x|}9,
a zatem dla |x|<9 jest zbieżność i dla |x|>9 jest rozbieżność.

Trzeba jeszcze zbadać, co się dzieje dla x=\pm 9 -- to już nie powinno być trudne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 cze 2016, o 13:55 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Dziekuje bardzo, mam jeszcze pytanie, jeśli bym miał sprawdzić zbieżność szeregu który w liczniku miałby sumę(załóżmy 4^{n} +  x^{2n}) a w mianowniku iloczyn, to czy można sprawdzać zbieżność dwóch szeregów odzielnie np z kryterium d'Alamebrta, a potem wyznaczyć ich część wspólną?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 cze 2016, o 15:31 
Użytkownik

Posty: 322
Lokalizacja: Toruń
Niezupełnie. Jest taka implikacja (*): jeśli \sum a_n i \sum b_n są zbieżne, to zbieżny jest szereg \sum(a_n+b_n).

Wprowadźy oznaczenia:
szereg \sum f_n zbiega na zbiorze $A$.
szereg \sum g_n zbiega na zbiorze $B$.
Zatem faktycznie, z (*) wynika, że szereg \sum (f_n+g_n) zbiega na zbiorze $A\cap B$, zaś nie zbiega na A\setminus B\cup B\setminus A.

Niestety, nie zachodzi implikacja przeciwna, więc sytuacja może być trochę bardziej skomplikowana. Mianowicie, nie wiemy, co się dzieje na dopełnieniu zbioru A\cup B.

Rozważmy taki przykład: f_n(x)=\frac{x^n}n, g_n(x)=\frac{-x^n}n. Wtedy
A=B=[-1,1), ale szereg \sum(f_n+g_n)=\sum 0 jest zbieżny wszędzie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbieżność szeregu w zależności od parametru x - zadanie 2  matinf  3
 Zbadaj zbieżność szeregu...  mm34639  3
 x0 w obliczaniu zbieznosci szeregu potegowego  Naiya  2
 Zbieznosc szeregu potegowego  haxo  5
 Zbieznosc szeregu funkcyjnego  Gnomek  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl