szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 cze 2016, o 13:52 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Gdańsk
Wyznacz funkcję tworzącą dla:
a_0=1 \ a_1=2 \\ a_n+a_{n-1} -6a_{n-2}=40 \\
f(x)=1+2x+24x^2 +... \\
-xf(x)=-x-2x^2 -24x^3...  \\
6x^2f(x)=6x^2+ 12x^3+... \\
--------------------------------------\\
f(x)+xf(x)-6x^2f(x)=1+3x+20x^2+20x^3\\
f(x)(1+x-6x^2)=1-17x+20x+20x^2...\\
f(x)(x- \frac{1}{2} )(x+ \frac{1}{3} )=1-17x+20x(1+x^2+x^3+...)\\
f(x)(x- \frac{1}{2} )(x+ \frac{1}{3} )=1-17x+ \frac{20x}{1-x} \\
f(x)(x- \frac{1}{2} )(x+ \frac{1}{3} )= \frac{1-x-17x+17x^2+20x}{1-x}\\
f(x)=  \frac{1+2x+17x^2}{(1-x)(x-  \frac{1}{2} )(x+  \frac{1}{3} )} =  \frac{A}{1-x} + \frac{B}{x-\frac{1}{2}}  + \frac{C}{x+\frac{1}{3}}\\
C(x=-\frac{1}{3})= \frac{1- \frac{1}{3}2+17\frac{1}{9}}{(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}) (1-\frac{1}{3})
}=-4\\
B(x=\frac{1}{2})= \frac{2+ \frac{17}{4}}{
(\frac{5}{6}\frac{1}{2})
}=15\\
A(x=1)= \frac{1+2+17}{
(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{2})
}=30\\
f(x)=\frac{30}{1-x}+\frac{15}{x-\frac{1}{2}} -\frac{4}{x+\frac{1}{3}}\\
x - \frac{1}{2} => 1-2x \\
x+\frac{1}{3}=>1+3x\\
f(x) =  \frac{30}{1-x}+\frac{15}{1-2x}-\frac{4}{1+3x} = 30\frac{1}{1-x}+15\frac{1}{1-2x}-4\frac{1}{1+3x}= \\ \sum_{n=0}^{ \infty } 30 x^n + \sum_{n=0}^{ \infty } 15\  (2x)^n +
\sum_{n=0}^{ \infty } (-4)(-3x)^n
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 cze 2016, o 14:13 
Użytkownik

Posty: 2923
20x(1+x^{2}+x^{3}+...) = \frac{20x}{1-x}-20x^{2}.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 22 cze 2016, o 17:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 661
Lokalizacja: Wrocław
Nocturn_el_silas napisał(a):
Wyznacz funkcję tworzącą dla:
a_0=1 \ a_1=2 \\ a_n+a_{n-1} -6a_{n-2}=40

A(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n

\sum_{n=2}^{\infty} a_nx^n+\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-1}x^n-6\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2}x^n=40\sum_{n=2}^{\infty} x^n
\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n-a_0-a_1x+x\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}-a_0\right)-6x^2\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^n=40x^2\sum_{n=0}^{\infty} x^n
A(x)-1-2x+x\left( A(x)-1\right)-6x^2A(x)=40x^2\cdot\frac{1}{1-x}
A(x)\left( 1+x-6x^2\right) =\frac{40x^2}{1-x}+1+3x
A(x)( 1-2x)(1+3x) =\frac{37x^2+2x+1}{1-x}
A(x)=\frac{37x^2+2x+1}{(1-x)(1-2x)(1+3x)}
A(x)=-10\cdot\frac{1}{1-x}+9\cdot\frac{1}{1-2x}+2\cdot\frac{1}{1+3x}
A(x)=-10\cdot\sum_{n=0}^{\infty} x^n+9\sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n+2\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(-3 x)^n
\blue a_n=-10+9\cdot2^n+(-1)^n\cdot2\cdot3^n

-- 23 cze 2016, o 20:07 --

Każdą zależność rekurencyjną tego typu można sprowadzić do postaci
\blue a_o,\ a_1,\ a_n+Aa_{n-1}+Ba_{n-2}=C gdzie \blue A,\ B,\ C to stałe

F(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n

\sum_{n=2}^{\infty} a_nx^n+A\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-1}x^n+B\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2}x^n=C\sum_{n=2}^{\infty} x^n
\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n-a_o-a_1x+Ax\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-1}x^{n-1}+Bx^2\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2}x^{n-2}=Cx^2\sum_{n=2}^{\infty} x^{n-2}
F(x)-a_o-a_1x+Ax\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n}+Bx^2\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}=Cx^2\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}
F(x)-a_o-a_1x+Ax\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}-a_o\right)+Bx^2F(x)=Cx^2\cdot\frac{1}{1-x}
F(x)-a_o-a_1x+Ax\left(F(x)-a_o\right)+Bx^2F(x)=\frac{Cx^2}{1-x}
F(x)-a_o-a_1x+AxF(x)-Aa_ox+Bx^2F(x)=\frac{Cx^2}{1-x}
F(x)(1+Ax+Bx^2)=\frac{Cx^2}{1-x}+(Aa_o+a_1)x+a_o
F(x)( 1-x_1)(1-x_2)=\frac{Cx^2+(Aa_o+a_1)x-(Aa_o+a_1)x^2+a_o-a_ox}{1-x}
    :\quad\quad( 1-x_1)(1-x_2)\equiv(1+Ax+Bx^2)\  \Rightarrow\  \begin{cases} x_1+x_2=-Ax \\ x_1x_2=Bx^2\end{cases}\  \Rightarrow \  \begin{cases} x_1=\frac{\sqrt{A^2-4B}-A}{2}x=Px\\ x_2=\frac{-A-\sqrt{A^2-4B}}{2}x=Rx \end{cases}
F(x)=\frac{(C-Aa_o-a_1)x^2+(Aa_o+a_1-a_o)x+a_o}{(1-x)( 1-x_1)(1-x_2)}
rozkład na ułamki proste
F(x)=-\frac{1}{PR}\frac{(C-Aa_o-a_1)x^2+(Aa_o+a_1-a_o)x+a_o}{(x-1)(x- \frac{1}{P})(x-\frac{1}{R})}
F(x)=-\frac{1}{PR}(\frac{PR\frac{C-Aa_o-a_1+Aa_o+a_1-a_o+a_o}{(P-1)(R-1)}}{x-1}+
+\frac{R\frac{C-Aa_o-a_1+P(Aa_o+a_1-a_o)+a_oP^2}{(1-P)(R-P)}}{x-\frac{1}{P}} +
+ \frac{P\frac{C-Aa_o-a_1+R(Aa_o+a_1-a_o)+a_oR^2}{(1-R)(P-R)}}{x-\frac{1}{R}})\right)
F(x)=\frac{\frac{-4C}{(\sqrt{A^2-4B}-A-2)(\sqrt{A^2-4B}+A+2)}}{1-x}+
+\frac{\frac{4C-4Aa_o-4a_1+(\sqrt{A^2-4B}-A)(2Aa_o+2a_1-2a_o)+a_o(\sqrt{A^2-4B}-A)^2}{(-2+\sqrt{A^2-4B}-A)(A+\sqrt{A^2-4B}+\sqrt{A^2-4B}-A)}}{1-x_1} +
+ \frac{\frac{4C-4Aa_o-4a_1-(A+\sqrt{A^2-4B})(2Aa_o+2a_1-2a_o)+a_o(A+\sqrt{A^2-4B})^2}{(2+A+\sqrt{A^2-4B})(\sqrt{A^2-4B}-A+A+\sqrt{A^2-4B})}}{1-x_2}
F(x)=\frac{\frac{C}{A+B+1}}{1-x}+
+\frac{\frac{4C-2(A+2B)a_o-2(A+2)a_1+2(a_1-a_o)\sqrt{A^2-4B}}{2A^2-8B-2(A+2)\sqrt{A^2-4B}}}{1-x_1} +
+ \frac{\frac{4C-2(A+2B)a_o-2(A+2)a_1-2(a_1-a_o)\sqrt{A^2-4B}}{2A^2-8B+2(A+2)\sqrt{A^2-4B}}}{1-x_2}
F(x)=\frac{\frac{C}{A+B+1}}{1-x}+
+\frac{\frac{2C-(A+2B)a_o-(A+2)a_1+(a_1-a_o)\sqrt{A^2-4B}}{A^2-4B-(A+2)\sqrt{A^2-4B}}}{1-x_1} +
+ \frac{\frac{2C-(A+2B)a_o-(A+2)a_1-(a_1-a_o)\sqrt{A^2-4B}}{A^2-4B+(A+2)\sqrt{A^2-4B}}}{1-x_2}
\blue a_n=\frac{C}{A+B+1}+\frac{2C-(A+2B)a_o-(A+2)a_1+(a_1-a_o)\sqrt{A^2-4B}}{A^2-4B-(A+2)\sqrt{A^2-4B}}\cdot P^n+
\blue`\quad+\frac{2C-(A+2B)a_o-(A+2)a_1-(a_1-a_o)\sqrt{A^2-4B}}{A^2-4B+(A+2)\sqrt{A^2-4B}}\cdot R^n
gdzie \blue P=\frac{\sqrt{A^2-4B}-A}{2}\quad\quad\quad\quad R=\frac{-A-\sqrt{A^2-4B}}{2}

-- 24 cze 2016, o 15:21 --

równie dobrze pasuje wzór:

\magenta a_n=\frac{C}{A+B+1}+
\magenta'\ \ \ \ +P^n\cdot\frac{((A+B+1)a_o-C)\sqrt{A^2-4B}+A((A+B+1)a_o-C)-2C+2(A+B+1)a_1}{2(A+B+1)\sqrt{A^2-4B}}+
\magenta'\ \ \ \ +R^n\cdot\frac{((A+B+1)a_o-C)\sqrt{A^2-4B}-A((A+B+1)a_o-C)+2C-2(A+B+1)a_1}{2(A+B+1)\sqrt{A^2-4B}}

działanie tych wzorów można sprawdzić tutaj
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 permutacje/ile jest sposobow ustawien/ -prosba o sprawdzenie  alamakota  3
 Ilość różnowartościowych niemonotonicznych funkcji.  Anonymous  2
 Proszę o sprawdzenie trzech przykładów  ag17  5
 Dwa zadania z liczbami - sprawdzenie  Wojteks  1
 Na ile sposobów (...)? - sprawdzenie zadania  Calasilyar  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl