szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 cze 2016, o 21:30 
Użytkownik

Posty: 811
A=(2,-1,1), B=(3,-3,3),C=(1,3,-2)\in \RR^3

a) równanie ogólne płaszczyzny \pi zawierającej A,B,C

\overrightarrow{AB}=[1,-2,2] oraz \overrightarrow{AC}=[-1,4,-3]

\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-2&2\\-1&4&-3\end{array}\right| = [-2,1,2]

\pi : -2(x-2)+(y+1)+2(z-1)=0 \\ \underline{\pi: -2x+y+2z+3=0}

b) Wyznacz równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez A,D gdzie D jest dowolnym punktem oddalonym o 3 od płaszczyzny \pi oraz będącym rzutem prostokątnym punktu B na \pi:

prosta zawierająca punkty A, D :
l: \begin{cases}2+at\\-1+bt\\1+ct\end{cases}

prosta, która jest prostopadła do powyższej prostej, czyli taka, która zawiera punkt B, czyli również prostopadła do \pi:

k: \begin{cases}3-2k\\-3+k\\3+2k\end{cases}

odległość d(D,\pi) ma być równa 3:

d(D,\pi)=\frac{|-2x_D + y_D + 2z_D + 3|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2}}=3

x_D, y_D, z_D zawierają się w równaniu prostej k:
d(D,\pi)=|-2(3-2k)-3+k+2(3+2k)+3| = 9 \\ \\ |9k|=9 \rightarrow k=1 \ {\rm lub} \ k=-1

wybieram k=1:
D=(1,-2,5)

Teraz musimy wyznaczyć równanie parametryczne prostej: \overrightarrow{AD}=[-1,-1,4],
a więc:

l:\begin{cases}x=2-t\\y=-1-t\\z=1+4t\end{cases}

c) Wyznacz miarę kąta między l, \pi:

\cos \varphi =  \frac{u \circ v}{||u||||v||}
gdzie u, v to odpowiednio wektory kierunkowe prostej i płaszczyzny l, \pi

\cos \varphi= \frac{[-1,-1,4] \circ [-2,1,2]}{\sqrt{18}\cdot\sqrt{9}} = \frac{9}{9\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

\underline{\varphi = \frac{\pi}{4}}

d) Wyznacz objętość czworościanu ABCD:

V= \frac{1}{6}  \cdot |\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}| = \frac{1}{6} \left| \det \left[\begin{array}{ccc}1&-2&2\\-1&4&-3\\-1&-1&4\end{array} \right]\right|=\frac{3}{2}

Proszę o sprawdzenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2016, o 11:24 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Nysa
Mi tak samo wyszło, myślę też że znajdzie się kilka osób którzy będą spekulować inaczej na ten temat.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz punkt przecięcia się prostej z okręgiem  Anonymous  5
 Wzór na odległość punktu od prostej, odległość prost  Anonymous  1
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty  mnk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl