szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2016, o 15:41 
Użytkownik

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie
1. Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze zachodzi równość (dla tych wszystkich a i b, dla których wyrażenia mają sens liczbowy) \frac{a(a+3b)^{2}- a( a^{2}+ 11b^{2})   }{12ab^{2}- 4b^{3}  }= \frac{a}{2b}

2.Wykaż, że jeżeli liczby a, b, c są różne od 0 oraz a \neq b, b \neq c, c \neq a, to
 \frac{1}{a(a-b)(a-c)}+ \frac{1}{b(b-a)(b-c)}+ \frac{1}{c(c-a)(c-b)}= \frac{1}{abc}

3.Dane jest równanie \frac{ x^{2}+1 }{a ^{2}x-2a }- \frac{1}{2-ax}= \frac{x}{a} z niewiadomą x. Zbadaj dla jakich wartości a równanie
a) ma dwa różne pierwiastki
b) ma jeden pierwiastek


Proszę o rozwiązanie tych zadań :) Z góry dziękuje :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2016, o 16:08 
Użytkownik

Posty: 14500
Lokalizacja: Bydgoszcz
No way. Pokaż jak rozwiązujesz, jak napotkasz trudny moment, to pomożemy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2016, o 20:18 
Użytkownik

Posty: 11486
Lokalizacja: Wrocław/Boston Maseczjusets
2. Rozpatrzmy wielomian
W(a)=(a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)
przy ustalonych b,c (b \neq c). Jest to funkcja wielomianowa zmiennej a drugiego stopnia,
która ma co najmniej trzy miejsca zerowe:
a_1=b, a_2=c, a_3=0
Zatem jest ona tożsamościowo równa zeru. Przy założeniu (powinienem je napisać na początku, bo inaczej uwaga o co najmniej trzech pierwiastkach nie działa :lol:) a\neq b \wedge a \neq c \wedge abc \neq 0 wywnioskuj stąd na drodze przekształceń algebraicznych tezę zadania.

-- 23 cze 2016, o 20:19 --

Mam nadzieję, że nie dostanę w mordę za to utożsamienie wielomianu z funkcją wielomianową; raczej wiadomo, o co mi chodzi.

-- 23 cze 2016, o 20:25 --

Czyli na początku powinienem założyć, że b i c to różne stałe i żadna z nich nie jest zerem. Bo bez tego założenia to słabo: np. pierwiastki 0,0,1 to nie są trzy różne pierwiastki...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2016, o 20:47 
Użytkownik

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie
a4karo napisał(a):
No way. Pokaż jak rozwiązujesz, jak napotkasz trudny moment, to pomożemy.

Nie mam pojęcia jak zabrać się za 2 i 3 zadanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2016, o 20:51 
Użytkownik

Posty: 11486
Lokalizacja: Wrocław/Boston Maseczjusets
Napisałem Ci więcej niż połowę rozwiązania zadania drugiego.
Z tego, co napisałem, wynika, że dla dowolnie ustalonych niezerowych b \neq c
i dla wszystkich a rzeczywistych mamy
(a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)=0

W szczególności jest więc tak, gdy również a\neq 0 \wedge a \neq b \wedge a \neq c.
Zaś dla takich a możesz wykonać przekształcenia algebraiczne, które doprowadzą Cię do tezy. Przenosisz (a-b)(a-c)(b-c) na drugą stronę, dzielisz stronami przez abc(a-b)(a-c)(b-c) i masz tezę.

-- 23 cze 2016, o 20:56 --

A w zadaniu trzecim najpierw dziedzina, a potem wymnóż stronami przez a^2x-2a.. Dostaniesz równanie kwadratowe z parametrem, poziom pierwszej klasy szkoły średniej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2016, o 21:00 
Użytkownik

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie
Premislav napisał(a):
Napisałem Ci więcej niż połowę rozwiązania zadania drugiego.
Z tego, co napisałem, wynika, że dla dowolnie ustalonych niezerowych b \neq c
i dla wszystkich a rzeczywistych mamy
(a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)=0

W szczególności jest więc tak, gdy również a\neq 0 \wedge a \neq b \wedge a \neq c.
Zaś dla takich a możesz wykonać przekształcenia algebraiczne, które doprowadzą Cię do tezy. Przenosisz (a-b)(a-c)(b-c) na drugą stronę, dzielisz stronami przez abc(a-b)(a-c)(b-c) i masz tezę.

-- 23 cze 2016, o 20:56 --

A w zadaniu trzecim najpierw dziedzina, a potem wymnóż stronami przez a^2x-2a.. Dostaniesz równanie kwadratowe z parametrem, poziom pierwszej klasy szkoły średniej.

W pierwszej klasie nie ma równań kwadratowych..

-- 23 cze 2016, o 22:00 --

Premislav napisał(a):
Napisałem Ci więcej niż połowę rozwiązania zadania drugiego.
Z tego, co napisałem, wynika, że dla dowolnie ustalonych niezerowych b \neq c
i dla wszystkich a rzeczywistych mamy
(a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)=0

W szczególności jest więc tak, gdy również a\neq 0 \wedge a \neq b \wedge a \neq c.
Zaś dla takich a możesz wykonać przekształcenia algebraiczne, które doprowadzą Cię do tezy. Przenosisz (a-b)(a-c)(b-c) na drugą stronę, dzielisz stronami przez abc(a-b)(a-c)(b-c) i masz tezę.

-- 23 cze 2016, o 20:56 --

A w zadaniu trzecim najpierw dziedzina, a potem wymnóż stronami przez a^2x-2a.. Dostaniesz równanie kwadratowe z parametrem, poziom pierwszej klasy szkoły średniej.

W pierwszej klasie nie ma równań kwadratowych..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2016, o 21:06 
Użytkownik

Posty: 11486
Lokalizacja: Wrocław/Boston Maseczjusets
No to znowu bez mojego zezwolenia zmieniono program... Ja miałem w pierwszej, czyli każdy powinien mieć nie później niż w pierwszej. :D Może tamten komentarz był niepotrzebny, przepraszam za niego, bo mógł zabrzmieć jak próba szyderstwa lub wywyższenia się. Niemniej jednak równanie kwadratowe z parametrem, jakie otrzymasz po skorzystaniu z tego, co napisałem, nie powinno Ci sprawić problemów. Liczysz wyróżnik trójmianu, sprawdzasz dla jakich wartości parametru a jest on dodatni (wtedy są dwa różne rozwiązania), a dla jakich jest zerowy (wtedy jest jedno rozwiązanie, choć jeszcze można to interpretować jako co najmniej jedno, a nie dokładnie jedno - wtedy sprawdzałbyś, kiedy wyróżnik jest nieujemny). Trzeba tylko jeszcze pamiętać o dziedzinie, którą na początku określiłeś.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2016, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie
Premislav napisał(a):
No to znowu bez mojego zezwolenia zmieniono program... Ja miałem w pierwszej, czyli każdy powinien mieć nie później niż w pierwszej. :D Może tamten komentarz był niepotrzebny, przepraszam za niego, bo mógł zabrzmieć jak próba szyderstwa lub wywyższenia się. Niemniej jednak równanie kwadratowe z parametrem, jakie otrzymasz po skorzystaniu z tego, co napisałem, nie powinno Ci sprawić problemów. Liczysz wyróżnik trójmianu, sprawdzasz dla jakich wartości parametru a jest on dodatni (wtedy są dwa różne rozwiązania), a dla jakich jest zerowy (wtedy jest jedno rozwiązanie, choć jeszcze można to interpretować jako co najmniej jedno, a nie dokładnie jedno - wtedy sprawdzałbyś, kiedy wyróżnik jest nieujemny). Trzeba tylko jeszcze pamiętać o dziedzinie, którą na początku określiłeś.

Ok. A zadanie 1?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2016, o 21:28 
Użytkownik

Posty: 11486
Lokalizacja: Wrocław/Boston Maseczjusets
Mianownik lewej strony przedstaw w postaci
2b(6ab-2b^2)
W liczniku wyłącz przed wszystko a, zaś następnie skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy (do tego (a+3b)^2) i uprość co się da.
Powinieneś dojść do tego, że licznik ma postać a(6ab-2b^2).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2016, o 12:33 
Użytkownik

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie
Premislav napisał(a):
Mianownik lewej strony przedstaw w postaci
2b(6ab-2b^2)
W liczniku wyłącz przed wszystko a, zaś następnie skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy (do tego (a+3b)^2) i uprość co się da.
Powinieneś dojść do tego, że licznik ma postać a(6ab-2b^2).

W 3 zadaniu jak rozwiązać a^{2}x-2a oraz 2-ax aby ustalić dziedzine w zależności od a?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2016, o 14:31 
Użytkownik

Posty: 11486
Lokalizacja: Wrocław/Boston Maseczjusets
Po pierwsze zauważ, że a^2x-2a=-a(2-ax), więc wystarczy, że rozwiążesz równanie
a^2x-2a=0. Z tego wychodzi (bo chcemy, żeby ta równość nie zachodziła - zerowe mianowniki...) a\neq 0 \wedge x \neq  \frac{2}{a}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykaż, że funkcja - zadanie 3  je?op  1
 wykaż,że dla dowolnych liczb ujemnych a,b  karolina182  10
 Wykaż, że dla dowolnych liczb spełniona jest nierówność  kamiolka28  2
 Wykaż, korzystając z definicji że funkcja...  wiaterb  1
 Wykaż, że dla liczby rzeczywistej zachodzi nierówność  schueler  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl