Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Funkcje elementarne » Funkcje wymierne

Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze

Strona 1 z 1

[ Posty: 11 ]

Autor

Wiadomość

damianb543 Offline

Tytuł: Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze

Napisane: 23 cze 2016, o 16:41

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie

1. Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze zachodzi równość (dla tych wszystkich a i b, dla których wyrażenia mają sens liczbowy) $\frac{a(a+3b)^{2}- a( a^{2}+ 11b^{2}) }{12ab^{2}- 4b^{3} }= \frac{a}{2b}$

2.Wykaż, że jeżeli liczby a, b, c są różne od 0 oraz $a \neq b, b \neq c, c \neq a, to \frac{1}{a(a-b)(a-c)}+ \frac{1}{b(b-a)(b-c)}+ \frac{1}{c(c-a)(c-b)}= \frac{1}{abc}$

3.Dane jest równanie $\frac{ x^{2}+1 }{a ^{2}x-2a }- \frac{1}{2-ax}= \frac{x}{a}$ z niewiadomą x. Zbadaj dla jakich wartości a równanie
a) ma dwa różne pierwiastki
b) ma jeden pierwiastek

Proszę o rozwiązanie tych zadań

Z góry dziękuje

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018

Góra

a4karo Offline

Tytuł: Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze

Napisane: 23 cze 2016, o 17:08

Posty: 15129
Lokalizacja: Bydgoszcz

No way. Pokaż jak rozwiązujesz, jak napotkasz trudny moment, to pomożemy.

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze

Napisane: 23 cze 2016, o 21:18

Posty: 12543

2. Rozpatrzmy wielomian
$W(a)=(a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)$
przy ustalonych $b,c$ ( $b \neq c$ ). Jest to funkcja wielomianowa zmiennej $a$ drugiego stopnia,
która ma co najmniej trzy miejsca zerowe:
$a_1=b, a_2=c, a_3=0$
Zatem jest ona tożsamościowo równa zeru. Przy założeniu (powinienem je napisać na początku, bo inaczej uwaga o co najmniej trzech pierwiastkach nie działa :lol:

) $a\neq b \wedge a \neq c \wedge abc \neq 0$ wywnioskuj stąd na drodze przekształceń algebraicznych tezę zadania.

-- 23 cze 2016, o 20:19 --

Mam nadzieję, że nie dostanę w mordę za to utożsamienie wielomianu z funkcją wielomianową; raczej wiadomo, o co mi chodzi.

-- 23 cze 2016, o 20:25 --

Czyli na początku powinienem założyć, że $b$ i $c$ to różne stałe i żadna z nich nie jest zerem. Bo bez tego założenia to słabo: np. pierwiastki $0,0,1$ to nie są trzy różne pierwiastki...

Góra

damianb543 Offline

Tytuł: Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze

Napisane: 23 cze 2016, o 21:47

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie

a4karo napisał(a):

No way. Pokaż jak rozwiązujesz, jak napotkasz trudny moment, to pomożemy.

Nie mam pojęcia jak zabrać się za 2 i 3 zadanie.

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze

Napisane: 23 cze 2016, o 21:51

Posty: 12543

Napisałem Ci więcej niż połowę rozwiązania zadania drugiego.
Z tego, co napisałem, wynika, że dla dowolnie ustalonych niezerowych $b \neq c$
i dla wszystkich $a$ rzeczywistych mamy
$(a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)=0$

W szczególności jest więc tak, gdy również $a\neq 0 \wedge a \neq b \wedge a \neq c$ .
Zaś dla takich $a$ możesz wykonać przekształcenia algebraiczne, które doprowadzą Cię do tezy. Przenosisz $(a-b)(a-c)(b-c)$ na drugą stronę, dzielisz stronami przez $abc(a-b)(a-c)(b-c)$ i masz tezę.

-- 23 cze 2016, o 20:56 --

A w zadaniu trzecim najpierw dziedzina, a potem wymnóż stronami przez $a^2x-2a.$ . Dostaniesz równanie kwadratowe z parametrem, poziom pierwszej klasy szkoły średniej.

Góra

damianb543 Offline

Tytuł: Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze

Napisane: 23 cze 2016, o 22:00

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie

Premislav napisał(a):

W pierwszej klasie nie ma równań kwadratowych..

-- 23 cze 2016, o 22:00 --

Premislav napisał(a):

W pierwszej klasie nie ma równań kwadratowych..

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze

Napisane: 23 cze 2016, o 22:06

Posty: 12543

No to znowu bez mojego zezwolenia zmieniono program... Ja miałem w pierwszej, czyli każdy powinien mieć nie później niż w pierwszej.

Może tamten komentarz był niepotrzebny, przepraszam za niego, bo mógł zabrzmieć jak próba szyderstwa lub wywyższenia się. Niemniej jednak równanie kwadratowe z parametrem, jakie otrzymasz po skorzystaniu z tego, co napisałem, nie powinno Ci sprawić problemów. Liczysz wyróżnik trójmianu, sprawdzasz dla jakich wartości parametru $a$ jest on dodatni (wtedy są dwa różne rozwiązania), a dla jakich jest zerowy (wtedy jest jedno rozwiązanie, choć jeszcze można to interpretować jako co najmniej jedno, a nie dokładnie jedno - wtedy sprawdzałbyś, kiedy wyróżnik jest nieujemny). Trzeba tylko jeszcze pamiętać o dziedzinie, którą na początku określiłeś.

Góra

damianb543 Offline

Tytuł: Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze

Napisane: 23 cze 2016, o 22:23

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie

Premislav napisał(a):

No to znowu bez mojego zezwolenia zmieniono program... Ja miałem w pierwszej, czyli każdy powinien mieć nie później niż w pierwszej.

Ok. A zadanie 1?

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze

Napisane: 23 cze 2016, o 22:28

Posty: 12543

Mianownik lewej strony przedstaw w postaci
$2b(6ab-2b^2)$
W liczniku wyłącz przed wszystko $a$ , zaś następnie skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy (do tego $(a+3b)^2$ ) i uprość co się da.
Powinieneś dojść do tego, że licznik ma postać $a(6ab-2b^2)$ .

Góra

damianb543 Offline

Tytuł: Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze

Napisane: 24 cze 2016, o 13:33

Posty: 543
Lokalizacja: Mazowieckie

Premislav napisał(a):

W 3 zadaniu jak rozwiązać $a^{2}x-2a$ oraz $2-ax$ aby ustalić dziedzine w zależności od a?

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze

Napisane: 24 cze 2016, o 15:31

Posty: 12543

Po pierwsze zauważ, że $a^2x-2a=-a(2-ax)$ , więc wystarczy, że rozwiążesz równanie
$a^2x-2a=0$ . Z tego wychodzi (bo chcemy, żeby ta równość nie zachodziła - zerowe mianowniki...) $a\neq 0 \wedge x \neq \frac{2}{a}$ .

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 11 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Funkcje elementarne » Funkcje wymierne

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Wykaż tożsamość - zadanie 15	Acros	9
Wykaż równość.	Drukarz	1
2 zadania z funkcji wymiernych wykaż, że...	duszka84	0
wykaz ze....zadanie z funkcji wymiernej	Tommy	1
Wykaż, że jeżeli x,y,z należy do R+ to [nierówność].	Spisaczek	3

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]